* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 137 о п р е д е л и т ь п р о и з в е д е н и е У Ф д в у х ото5ражений Ф и У , пред­ с т а в л я ю щ е е собой р е з у л ь т а т последовательного о с у щ е с т в л е н и я сначала отображения Ф , а затем отображения У ( р а з у м е е т с я , область зна­ чений отображения Ф д о л ж н а с о в п а д а т ь с областью определения о т о ­ бражения У ) . В частности, имеет смысл понятие произведения преоб­ разований, например д в у х преобразований, определенных в множестве прямых линий, или д в у х преобразований, определенных в множестве окружностей. Простой пример произведения двух (неточечных) преобразований до­ ставляет преобразование P*Pi где Р, есть расширение на величину d а Р —расширение на величину d . Ясно, что Р Р , есть тоже расширение на величину d ~\-d - ведь P переводит (направленную) прямую / в прямую того же, что и / напра­ вления, лежащую справа от / и удаленную от / на рас­ стояние d,; расширение Р переводит /, в прямую V \\l того же направления, лежа­ щую справа от /, и удален­ ную от /, на расстояние d ; но ясно, что /' получается из / расширением на величину 4 + 4 (рис. 82; можно также рассуждать так: Р, переводит произвольную окружность I радиуса г в концентрическую с 2 окружность 2, радиуса + d а Р переводит 2,в кон­ центрическую с 2, окруж­ Рис. 82. ность 2' радиуса (/" + <*,) + - f d = / - + (ti +*4), получающуюся из 2 расширением на величину d +d ). Можно также говорить о произведении Д А, двух подерных преобра­ зований А, и Л : если А, переводит линию у в линию у а А —линию Yi в линию у', то преобразование А А, переведет у в у' ). Имеет также смысл понятие произведения П П , двух полярных ото­ бражений П, и П ; его областью действия будет множество всех точек и прямых (проективной) плоскости. При этом П П, будет переводить точки в точки, а прямые—в прямые, т. е. оно как бы «распадается» на два отдельных преобразования, одно из которых будет т о ч е ч н ы м, а дру­ гое— преобразованием в множестве всех прямых проективной плоскости; первое из них (точечное преобразование), как легко видеть, будет про­ ективным преобразованием «Квадрат» ПП = П полярного отображения П является т о ж д е с т в е н н ы м п р е о б р а з о в а н и е м , ибо переводит каж­ дую точку и каждую прямую в себя; это означает, что полярное отображение является и н в о л ю т и в н ы м (см. § 5, стр. 97), т. е. обратным самому себе. ? l9 2 2 2 l 2 t 2 t 2 2 r l9 а z l t z 2 2 р 2 1 2 2 2 2 2 Д л я неточечных отображений и преобразований имеет смысл также понятие отображения (или преобразования) Ф " , обратного 1 ') Подерные преобразования А, и А можно также рассматривать как преобразования в множестве линейных элементов плоскости (см. стр. 136); в таком случае и произведение А А, двух подерных преобразований при­ дется рассматривать как преобразование в множестве линейных элементов. £ 2