* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

138 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ данному отображению (преобразованию) Ф. Это отображение определя­ ется следующим образом: если Ф переводит геометрический образ а в геометрический образ а ' (а н а ' могут являться точками, прямыми, окружностями или иными геометрическими объектами, возможно раз­ ной природы), то Ф " переводит а ' в а. Область действия обратного преобразования Ф " совпадает с областью действия преобразования Ф. Так, скажем, обратной для гомотетии с центром О и коэффициен­ том /г, рассматриваемой как преобразование в множестве прямых плоскости, является гомотетия с тем же центром О и коэффициен­ том Ijk (также рассматриваемая как преобразование в множестве пря­ мых); преобразование Д , обратное подерному преобразованию Д с центром О, переводит улитки Паскаля в окружности и т. д. Понятия прои ведения двух (неточечных!) преобразований и обрат­ ного преобразования позволяют определить г р у п п у таких преобра­ зований, т. е. такую совокупность № преобразований, которая: 1° содержит тождественное преобразование I ; 2° наряду с каждым преобразованием Ф содержит и обратное ему преобразование Ф " ; 3° наряду с каждыми двумя преобразованиями Ф и W содержит и их произведение Ч*Ф Ясно, например, что образуют группу аффинные преобразования, рассматриваемые как преобразования в множестве прямых линий плоскости, или круговые преобразования, рассматри­ ваемые как преобразования в множестве окружностей. 1 1 - 1 1 Более новыми для нас являются г р у п п а о с е в ы х круговых преобразований или группа касательных круговых преобразований; например, все осевые круговые преобразования образуют группу, так как 1° тождественное преобразование, рассматрива­ емое как преобразование в множестве направленных прямых плоскости, переводит каждую окружность в себя, т. с. является круговым; 2° если Ф есть преобразование в множестве направленных прямых, переводящее окружности с окружности (круговое преобразование), то и обратное п еобраэование Ф является круговым (если Ф переводит окружность 2 в окружность 2', то Ф переводит 2' в 2); 3° если преобразования Ф и У, определенные в множестве направленных прямых, переводят окружности в окружности, то и Ч^Ф переводит окружности в окружности (если ф переводит окружность 2 в 2,, а V—окружность 2, в 2', то УФ перево­ дит 2 в 2'). Частью группы осевых круговых преобразований является г р у п п а р а с ш и р е н и й , для построения которой надо определить рас­ ширение на величину нуль (тождественное преобразование) и расширение на отрицательную величину—d сдвигающую каждую (направленную) прямую на расстояние d в л е в о и переводящее (направленную) окружность радиу­ са г в концентрическую с ней окружность радиуса г—d (рис. йЗ; ср. выше, стр. 126). При этом обратным расширению на (положительную или отрица­ тельную!) величину d будет расширение на величину —d, а произведение расширений на величины 4, и d всегда будет равно расширению на вели­ чину d -\-d . _ | - 1 % 2 x 2 Понятие группы (неточечных!) преобразований очень важно потому, что оно позволяет говорить о геометриях, основным элементом которых является не точка, а другой геометрический объект —