* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

110 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ сохраняющихся при преобразованиях (***). Поскольку преобразования Галилея (***), как легко показать, образуют группу, то это описание отождествляет механику плоских движений с некоторой «геометрией» трех­ мерного пространства, определенной заданием группы (***) «движений»( '). Заметим еще, что современная физика заменяет принцип относитель­ ности Галилея так называемым п р и н ц и п о м относительности Э й н ш т е й н а , лежащим - основе (специальной) т е о р и и о т н о с и т е л ь ­ н о с т и ; это приводит к необходимости заменить преобразования Галилея (***) более сложными преобразованиями, которые называются п р е о б р а ­ з о в а н и я м и Л о р е н ц а . Преобразования Лоренца зависят от некото­ рого параметра с (физический смысл которого расшифровывается теорией относительности: с есть скорость света в пустоте); при с—* оо они пере­ ходят в преобразования Галилея. Преобразопания Лоренца также образуют группу; таким образом, переход от классической механики Галилея и Ньютона к теории относительности Эйнштейна и Пуанкаре равносилен изменению взгляда на «геометрию» окружающего нас мира, причем эта «геометрия», в полном согласии с точкой зрения Клейна, задается ука­ занием группы преобразований, сохраняющих вид физических законов'). § 7. Группа проективных преобразований 7.1. Гомология. Наш рассказ о геометрических преобразованиях был бы неполным, если бы мы не упомянули, хотя бы кратко, и проективных преобразованиях, совокупность которых составляет группу проективных преобразований. Эта группа, одна из важней­ ших для геометрии, определяет своеобразную «геометрию», носящую название проективной геометрии и тесно связанную как с евкли­ довой и аффинной геометриями, так и с неевклидовыми геометриями. Проективной геометрии посвящено много обстоятельных учебных руководств ); здесь же мы лишь бегло очертим ее предмет. '""Знакомство с проективными преобразованиями мы начнем с одного интересного преобразования — гомологии, определение которого мы первоначально сформулируем намеренно неточно. Гомологией *) с о с ь ю о и ц е н т р о м О называется преобразование плоскости, переводящее прямые снова в прямые и оставляющее на месте 2 ') «Геометрия» пространства-времени, в котором мы живем, представ­ ляет собой одну из так называемых неевклидовых геометрий, о которых упоминалось в подстрочном примечании на стр. 103; эта «геометрия» (независимо от того, кладутся ли в основу ее построения преобразования Галилея или преобразования Лореица) отлична как от обычной геометрии Евклида, так и от неевклидовой геометрии Лобачевского. По этому поводу см. в кн. V ЭЭМ статью «Неевклидовы геометрии», в которой будет под­ робнее изложен вопрос о геометрическом истолковании физических законов. ) См., например. Г. Б. Г у р е в и ч. Проективная геометрия, М., Физ­ матгиз, I960; X. С. М. К о к с т е р , Действительная и проективная плос­ кость, М , Физматгиз, 1960. ) От греческих слов оцбе, — одинаковый и коуо$ — смысл. 2 8