* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 111 каждую прямую, проходящую через точку О, и каждую точку, принадлежащую прямой о. Отсюда следует, что прямую Л пере­ секающую ось о в точке Q, гомология Г переводит в прямую пересекающую ось о в той же точке (ибо Г(£? = Q), а каждую параллельную оси о прямую т гомология переводит в прямую т\ также параллельную прямой о (ибо в точку пересечения прямых т ' и о могла бы перейти лишь та же самая точка, а прямая т не пересекает о). Для того чтобы построить точку Л \ в которую гомология Г переводит произвольную точку А плоскости, достаточно знать образ М' =Г(М) какой-либо точки М (рис. 56; точю А*' должна ле­ жать на прямой ОМ, ибо эта прямая при гомологии переходит в себя). В самом деле, если пря0 мая AM пересекает ось Л\ гомологии о в точке Q, t q /$J \ она перейдет в прямую QA4' д м \ * (а если А М\\о то она пе>^"~М^\\ рейдет в параллельную оси , / j 1 х % 8 t О Прямую RM\ ПрОХОДЯЩую R ^ ^V^^N Tn, через точку М'). Так как, / " " - ^ ^ ч далее, искомая точка A'{mix ^ А\ )лежит, кроме того, на пря/ Р Q мой од (соответственно ОА\). р £ то она может быть найдена как точка пересечения прямых OA и QM' (или ОА и RM'). Это построе­ ние не проходит в том случае, если исходная точка В лежит на прямой ОММ\ но в таком случае мы можем построить сначала образ А'= Г {А) какой-либо другой точки А и затем построить образ В' = Г[В) точки В, исходя не из пары точек /И, М\ а из пары точек А, А'. Разумеется, следовало бы еще показать, что наше построение приводит к одному и тому же образу В точки В независимо от выбора точки А и что определенное изображен­ ным на рис. 56 построением преобразование Г в самом деле обла­ дает всеми теми свойствами, выполнения которых мы требовали от гомологии (в частности, что Г переводит прямые в прямые); мы, однако, примем это на веру, предоставив читателю самостоятельно провести соответствующие доказательства. и с 0 х МА МО и Заметим, что если р^М' ( только в этом случае), то треугольники МОА и MM'Q будут подобны и прямая QM'\\OA не пересечет OA (рис. 57). Таким образом, точке Д принадлежащей прямой q, гомотетичной о с центром гомотетии М и коэффициентом гомотетии Tyro МО ММ не отвечает никакая точка плоскости! Иначе говоря, .