* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

90 8 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ с ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ( л = 3 , а , = с ц = а = 90 ), или о построении треугольника по вершинам построенных на е г о сторонах правильных треугольников (л = 3, а, = 0 2 = 0 3 = 6 0 ° ) , или о построении многоугольника по известным серединам сторон (л произ(ольно, а , = а = . . . = а „ = 180°) т. д. Д л я решения этой задачи заметим, что последовательное применение вращении В В , . . . . В с центрами Q Q , ..., Q соответственно иа углы а,, а а„ переводит: сначала точку А в А затем в ^ , . . . и, наконец, А обратно в Л, (рис. 44). Таким образом, точка Л, про­ изведением B B _ , . . . В В рассматриваемых вращений оставляет­ с я н а м е с т е . Н о из доказанных выше теорем следует, что произ­ ведение В = В . . . В В , вращений представляет собой в р а щ е н и е на угол а , + 0 | + . . . -f-a ; центр этого «результирующего» вращения В легко найти, если последовательно заменить произведение т ращений В, и В одним вращением (или парал­ лельным переносом) В ; затем произведение преобраэованийВ * и В,—одним преобразованием В А и т. д. Но ясно, что единственная * точка, которую оставляет на ме­ сте вращение (на угол, отличный от к-360°1), есть центр этого вра­ щения ; следов а тель но, искомая вершина А многоугольника совпа­ дает с центром Q результирующего вращения В и потому может быть построена. Далее, ясно, что, зная точку j4, (а также точки Q Q .... Q и углы a „ a,. . . с ) . мы легко построим и весь л-угольник. 2 1 ( 2 п lt 2 n 2 х г> п n n 2 Х Л 2 n (1> 11 (ж) 1 u Zr n п 2 Это рассуждение оказывается непригодным в одном исключи­ тельном случае: если сумма <*i + о* + • • - + п углов поворота кратна 360 . В этом случае мы вообще не можем задать произвольным образом вершины Q,, Q , ..., Q построенных иа сторонах многоугольника треуголь­ ников—ведь произведение вращений В,, В . . . , В „ на углы а а,, ,а„ (где а, +а + - -. + а „ = А-360 ) является параллельным переносом; который, вообще говоря (если вектор переноса ?=0), не оставляет на месте и и о д н о й точки плоскости! Таким образом, как правило, соответствующая задача на построение при а, + а 4 - . . . -\-a = k-360° не будет иметь решений. Лишь при некоторых специальных расположениях точек Q„ Q , . . . , Q результирующее преобразование В = В„. . В В , явится спаралл, льным пере­ носом на нулевое расстояние», т. е. будет тождественным преобразованием и задача окажется разрешимой. Однако при этом она будет иметь даже «слишком много решений» (т. е. будет н е о п р е д е л е н н а ) — л ю б у ю точку плоскости можно будет принять за вершину А искомого л-угольника, ибо тождественное преобразование оставляет на месте в с е точки плоскости! Поэтому и здесь задача на построение оказывается неинтересной; содер­ жательной же является «задача иа доказательство», требующая установить возможный характер конфигурации (расположения на плоскости) то­ чек Qj, Q , .... Q, отвечающих реально существующему л-угольнику A | i 4 . . . j4pj. а е z n 2> 1Р в г 2 n 2 n 2 х 2 n 2 Сказанное хорошо иллюстрируется уже упоминавшейся задачей о по­ строении п-угольника А А *. ,А по серединам Q Q , .... Q его сто­ рон. В условии этой задачи на построение всегда добавляют, что рассмат­ риваемый многоугольник имеет н е ч е т н о е число л = 2 Л + 1 сторон. В этом х г п tt t n