* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ И nPECB^ASlBAFHS Ъ9 симметрий относительно некоторых прямых. В самом деле, если точкам отлична от А \ то мы совмещаем эти две точки симметрией 2 , относи­ тельно перпендикуляра/,, восставленного к отрезку АА' в его середине; треугольник ABC перейдет при симметрии 2 , в треугольник А'В С (рис. 43). Далее, если точка Я, = 2 , (Я) не совпадает с В\ то мы совмещаем ее с В' симметрией 2 относительно перпендикуляра восставленного к В В в его середине (заметим, что прямая 1 про­ ходит через точку А ' ибо А'В = АВ=А'В , и, сле­ довательно, 2 ( > T ) = i4'). Если полученный юА'В С с помощью симметоии 2 треугольник А'В'С не совпадает с треугольни­ ком А'ВС, то он симмет­ ричен ему относительн прямой А В и потому может быть совмещен с треугольником А'ВС при помощи еще одной сим­ метрии 2 относительно прямой А'В =1 (рис. 43). Рис. 43. Итак, любые два равных треугольника могут быть совмещены самое большее тремя симметриями относительно прямых, откуда вытекает (см. пример 4 , стр. 83), что каждое движение плоскости представляет собой либо сим­ метрию относительно прямой, либо параллельный перенос, либа вращение вокруг точки (которое, в частности, может оказаться симметрией относительно точки), либо, наконец, параллельный перенос или вращение, сопровождаемые еще одной симметрией относительно прямой ) . Х Х t Х г у Х e х х Я г 9 4 % е 1 4.4. Применения. Полученные результаты могут быть использованы для решения многочисленных задач на построение и на доказательство. Рассмотрим, например, задачу о построении многсугольниьа А А ...А по заданным вершинам Q„ Q , . . . . Q„ равнобедренных треугольников с из­ вестными углами а,, Ог, а при вершинах, построенных на его сторо­ нах (рис. 44) Эта задача охватывает широко известные задачи о пост­ роении треугольника по центрам построенных на его сторонах квадратов х г 2 п п ') Произведение т р е х симметрий относительно прямой всегда мо­ жет быть представлено в виде так называемой скользящей симметрии, т. е. произведения симметрии относительно некоторой прямой и парал­ лельного переноса в направлении этой ж е прямой (см. книги И. М. Я г л о м а [2] и Д. И. П е р е п е л к и н а, [3] указанные Б конце статьи). Итак, каждое движение плоскости является либо параллельным пере­ носом, либо вращением, либо скользящей симметрией (частным случаем сколь­ зящей симметрии является обычная симметрия относительно прямой).