* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 91 случае а , - ) - ^ - ^ . . . - г - о = ( 2 £ + 1 ) - 1 8 0 ° и результирующее преобразование является вращением на угол (2fc+l)*180°, т. е. вращением на 180°, или, иначе, с и м м е т р и е й относительно некоторой точки; центр Q этой сим­ метрии (т. е. вершину А многоугольника!) легко найти, если воспользо­ ваться содержанием примеров 1°—3 (стр. 81—83). Если же п=2к четно, то 0 , - 1 - 0 5 + . . . + а„ = 2ft- 180 = £.360° и преобразование В = В В _ . . . В | будет параллельным переносом (либо тожде­ ственным преобразованием). Поэтому середины Q Q, ..., Q„ сторон 2£-угольника A A .,.A не могут быть выбраны произвольно; так. например, хорошо известно, что при п = 4 эти точки (середины сторон произвольного четырехугольника) всегда являются вер­ шинами параллелограмма ) (рис. 45). Совершенно ясно, с чем это свя­ Рис. 45. зано: произведение симметрий 2 , и 2 относительно точек Q, и Q пред­ ставляет собой параллельный перенос П иа вектор 2Q Q (см. пример У на стр. 81—83), а произведение симметрий 2 , и 2 относительно точек Q и Q представляет собой параллельный перенос П на вектор 2QjQ ; поэтому лишь в случае, если Q Q =Q Q, (т. е. если четырехугольник Q,Q Q Q — параллелограмм!), произведение 2 2 £ 2 , = П П , четырех симметрий будет тождественным преобразова­ нием (т. е. задача построения четы­ рехугольника по серединам его сто­ рон будет разрешимой. Вот еще две задачи подобного рода: что можно сказать о центрах правильных треугольников, построен­ ных на сторонах произвольного треуголънгка, или о центрах квадратов^ построенных на сторонах произволь­ ного четырехугольника (для опреде­ ленности мы считаем, что правильные треугольники и квадраты построены вне исходного многоугольника)? В первом случае искомые три точки /?,, R и / ? обладают тем свойством, что произведение вращений В,. В , , В вокруг этих точек на угол 120 п редста вл я ет собой тождестве н ное FHC. .6. преобразование (ибо 3 - l 2 0 ° = W ) . Но произведение В В , первых двух вращений представляет собой вращение В на угол 240° вокруг точки R, в которой пересекаются проведенные через H 120° и R прямые, образующие с прямой углы 60 (рис. 46; см. выше п х е е Л Л 1 u t l z n 1 2 z ж 1 t 4 t 4 2 4 X 2 4 2 a 4 4 3 2 2 2 а е 3 2 t е 2 стр. 83). Ясно, что произведение вращений В и В вокруг точек R и R на углы 240° и 120° в том и только в том случае явится тождественным преобразованием, если точка R совпадает с R, Таким образом, мы эаклю3 a s 1 ) Ср. стр. 315 этой книги ЭЭМ.