* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 65 емой гомотетии) и делятся в ней в отношении 2 : 1 , считая от вершины. Далее, при той же гомотетии высоты треугольника ABC переходят в высоты треугольника А В С . Но высоты треугольника ABC— это перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника ABC в их серединах; поэтому они пересекаются в центре О описанной вокруг ABC окружности S. Отсюда следует, что высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке Н, причем точки И, О и точка пересечения медиан М (центр гомотетии треугольников ABC и АВС) лежат на одной прямой ' ) , и НМ:МО= 2. Можно также заметить, что окружность S переходит при рассматриваемой гомотетии описанную вокруг треуголь­ ника А В С окружность 3 (т. е. в окружность, проходя­ щую через середины сторон треугольника ABC), радиус R которой, очевидно, равен поло­ вине радиуса R окружности S, а центр О лежит на прямой МО, причем ОМ:МО = 2 (ибо М — центр гомотетии с коэф­ фициентом — ~ , переводящей Х Х Х Х Х Х J Х Х Х 1 % х х 5 в S ). Отсюда следует, что точка О является середи­ ной отрезка НО, а значит, окружность S гомотетична x г t Рис. 21. окружности 5 также с центром гомотетии И и коэффициентом гомо­ тетии + -^-; поэтому окружность S и С 1 x проходит через середины А\ ABC ). 2 Ь' отрезков НА, ИВ и ИС высот треугольника ) Прямая НМО называется п р я м о й Э й л е р а треугольника ABC. *) Окружность S, называется о к р у ж н о с т ь ю Э й л е р а треуголь­ ника ABC. Часто эту окружность называют также о к р у ж н о с т ь ю д е в я т и т о ч е к , поскольку она проходит через 9 «замечательных» Т о ч е к треугольника: через середины Л„ В„ С, сторон, через середины А', В', & отрезков высот и через основания Я, Q, R высот. Последнее вытекает из т о г о , что т о ч к и , скажем, Аг и А' окружности 5, являются диаметрально противоположными (ибо касательные к 5, в точках А и А' получаются из касательной к S в точке А при помощи гомотечии с центром М и к о э ф } 5 Энциклопедия, кн. 4