* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АКСИОМАТИКА ГЕОМЕТРИИ 35 (аксиома 11°). Так как точка В лежит между D и Е* то точка Е не лежит на отрезке BD (аксиома 9°). Если мы допустим, что пря­ мая СЕ имеет обшую точку F с отрезком BD, то Г^Е (ибо Е не лежит на отрезке BD), и потому прямые СЕ и BD имеют две общие точки Е, F. Но тогда прямые СЕ и BD совпадают (аксиома 1°), что невозможно. Итак, прямая СЕ не может иметь общие точки с отрез­ ком BD и потому в силу сказанного выше она должна иметь общую точку И с отрезком АВ. Эта точка Н отлична от А и В (так как прямая СЕ не проходит через точки А, В). Таким образом, на отрезке АВ существует точка /У, отличная от А и В т. е. сущест­ вует точка //, лежащая между А и В. Из приведенных доказательств теорем 1 и 2 ясно видно, что собой представляют доказательства с помощью аксиом. Эти доказа­ тельства не нуждаются в пояснительном чертеже и не предполагают, что мы представляем себе некоторую модель геометрии Евклида. Это и понятно, ведь в аксиомах перечисляется все, что мы должны знать об основных понятиях геометрии. Ясно также, что перечень аксиом у Евклида является далеко не полным (помимо того, что смысл его первых определений весьма туманный): Евклид существенно пользовался чертежом при доказательствах, и такое предложение, как аксиома 11°, для него было очевидным (прямая, входящая в треугольник через одну его сторону, должна выйти из тре­ угольника через вторую или третью сторону). Таким образом, хотя у Евклида имеются начала аксиоматического метода, но при дока­ зательствах Евклид неявно пользуется «очевидными» свойствами, не перечисленными в его аксиомах. Имея в виду, что читатель ясно представил себе характер дока­ зательств, проводимых на основании аксиом, мы ие будем утруждать его дальнейшими доказательствами, а ограничимся формулировками теорем, которые можно доказать с помощью аксиом 1°—11° и уже доказанных теорем 1 и 2. Т е о р е м а 3. Если прямая I , лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек А, В, С, то хотя бы с одним из отрезков АВ, ВС, АС она не имеет общих точек. Т е о р е м а 4. Любые п различных точек прямой можно так занумеровать числами 1, 2, 3, п, что если ij>k), то j-я точка лежит между i-й и k-й точками. Для того чтобы сформулировать теорему 5, определим луч. Пусть О и А—две различные точки. Лучом OA мы будем называть мно­ жество, состоящее из всех точек М прямой OA* для которых О не лежит между А и М (точки О и А также принадлежат лучу OA). Т е о р е м а 5. Всякая точка О, взятая на прямой /, разби­ вает эту прямую на два луча. Более подробно: существуют на прямой I такие точки А и В, что лучи OA и ОВ имеют y у