* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

34 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ лежали бы в одной плоскости а. В силу аксиомы 7° плоскости а и ATU имеют общую точку, отличную от А. Обозначим эту общую точку через С. Таким образом, точки А* В* С лежат в плоскости а. Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. В самом деле, если бы точки А, В, С лежали на одной прямой, то эта прямая совпадала бы с АС (аксиома 1°), и потому в силу аксиомы 6° лежала бы в плоскости ATU (ибо эта плоскость содержит точки А и С), т. е. точка В лежала бы в плоскости ATU. Но это противо­ речит тому, что точки Д, В, Т* U не лежат в одной плоскости. Полученное противоречие доказывает, что точки А* В, С не лежат на одной прямой. 6.3. Аксиомы порядка. 9°. Из любых трех различных точек прямой одна ц только одна лежит между двумя другими. 10°. Для всяких двух точек прямой существует на этой пря­ мой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей. Прежде чем сформулировать третью аксиому порядка (аксиома 11°) мы введем понятие отрезка. Именно, если А и В—две различные точки, то отрезком с концами А и В (или, коротко, отрезком АВ) называется множество, состоящее из точек А, В и всех точек пря­ мой АВ, расположенных между А н В. 11°. Если прямая /, лежащая в плоскости ABC* не проходит ни через одну из точек А* В Си содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку хотя бы с одним из отрезков AC, ВС. Эта аксиома называется аксиомой Паша—по имени немецкого ученого, впервые сформулировавшего эту аксиому. Пользуясь аксиомами порядка, можно доказать некоторые даль­ нейшие теоремы. Т е о р е м а 2. Для всяких двух различных точек А, В cyuteствует точка, лежащая между ними. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть С—точка, не лежащая на прямой АВ (такая существует в силу аксиомы 3°). В силу аксиомы 10 существует на прямой АС такая точка D, что С лежит между А и D. Точка D не совпадает с В* так как иначе две различные пря­ мые АВ, АС имели две общие точки А* В* что невозможно (аксиома 1°). В силу аксиомы 10° существует на прямой BD такая точка Е* что В лежит между D и Е. Прямая СЕ не проходит ни через одну из точек А, В* D. (Если бы, например, прямая СЕ проходила через А* то она совпадала бы с прямой АС", следовательно, точки А* С, D* Е лежали бы на одной прямой; на этой же прямой DE лежала бы и точка В, т. е. точки А, В, С лежали бы на одной прямой, что невозможно.) Так как прямая СЕ имеет с отрезком AD общую то^ку С* то она имеет общую точку с одним из отрезков АВ* BD у р