* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

-РЯДЫ 481 то ошибка будет меньше, чем 0,0006/?. Действительно, используя найденное в п° 42 значение it,,получаем: 5 = 0,523599/?. Правило же Чебышева даёт ? =2/? | / sin 15° + - | (I - cos 15 )» 3 е откуда 5 = 0,5235857?, т. е. ошибка, равная 0,000014/?, попадает в указанные границы. III. Р А З Л О Ж Е Н И Е А Р К С И Н У С А . Рассмотрим в заключение вопрос о разложении функции arcsin л: в ряд по степеням лг. Непо­ средственное составление ряда Тейлора здесь было бы затрудни­ тельно, ввиду весьма громоздких выражений последовательных про­ изводных arcsin лг. Использование биномиального ряда позволяет обойти эту трудность. Именно, как мы видели выше. J = i . У ( П * ( 2 я - 1 ) Н уп я Заменим здесь х на — г 1 ш а затем z на лг , что даёт _ л VT=x*~ I у (2и—1)11 о п ^~ Ь (2я)Н * ' Интегрируя это равенство по промежутку [0, лг], где — 1 <С*<С мы получим искомое разложение: a r c s i n x = x + ^I 3+4Й-5+6ИУ+ 1 45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций. 6 математическом анализе большое значение ) имеют тригономет­ рические функции, которые, однако, вводятся в математику на осно­ вании г е о м е т р и ч е с к и х построений, совершенно чуждых ана­ лизу. Возникает вопрос, можно ли построить теорию этих функций, не прибегая к геометрическим соображениям, а оставаясь на чисто аналитической почве. Вопрос этот следует рассмотреть, потому что наряду с евклидовой существуют и другие геометрии, в связи с чем естественно возникает опасение, что результаты анализа зависят от выбора геометрии. Может быть, приняв геометрию Лобачевского ), мы должны будем изменить и ряд теорем анализа? 9 *) Напомним хотя бы тригонометрические подстановки в интегральном нечислении (п° 18, пример интеграла J \[\ — лг dx). •) Как известно, в геометрии Лобачевского нет подобных фигур. В то же время теория подобия лежит в основе обычного иостроения тригоно­ метрии. а 31 Энциклопедия, к н . 3