* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
482
ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ
На самом деле результаты анализа от выбора той или иной геометрии не зависят, а тригонометрические функции можно опре делить и изучить, совершенно не используя никаких геометрических соображений. Здесь мы имеем в виду вкратце показать, как это можно сделать. Рассмотрим два степенных ряда
1
—т\+т~ъ\+т\—
•••'
( 8 0 )
Пользуясь признаком Даламбера, легко показать, что каждый из этих рядов сходится при всех действительных лг. Обозначим суммы этих рядов соответственно ч е р е з ) С(х) и- S(x) и назовём их к о с и н у с о м и с и н у с о м аргумента х. Таким образом,
1
С(*) = 1 — g- + | f —
С ( — х) = С(х),
5
^
)
=
Tl~ll+oT~"
(82)
Из этих формул сразу видно, что 5 ( — лг) = — S(x),
т. е. что косинус — функция чётная, а синус — нечётная. Далее, пользуясь теоремой о почленном дифференцировании сте пенных рядов, получаем: С (лг) = — S(x) Отсюда С (лг) = — С (х), С " (JC) = S (лг), С № (лг) = С (лг), S" (x) = — S (лг), 5"' (JC) = — С(лг), 5 <> (лг) = S (лг)
4 t
S* (лг) = С(лг).
(83)
и вообще при любом натуральном k С<4*)(лг) C
4fc+2
= С(лг), (лг) = —5(лг),
5< > (лг)
4 + 2
4Л
== 5(лг), (84)
S*«+u (л:) = С(лг), # * ) (л:) = — 5 (лг),
£(4fe+3)
( Д Г
> (лг) = — С (лг),
=
C(4fc+3) (д.)
5 (д),
)
=
_
С
(
Х
)
Установим теперь основную во всей теории т е о р е м у с л о ж е н и я д л я к о с и н у с а . Для этого отметим, что какой бы конечный
) Как мы знаем, эти суммы суть cosx и s i n * . Поэтому мы могли бы и обозначить их этими символами. Однако мы предпочитаем обозначения С{х) и S(x), чтобы незаметно не использовать каких-либо привычных, но ещё не обоснованных аналитически, свойств этих функций.
1
