* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 453 Заметив это, возьмём произвольное е > 0 и найдём столь боль­ шое п, чтобы оказалось Такое п существует, ибо сумма остатка сходящегося ряда (12) стремится к нулю. В силу (14) при этом л и п р и в с е х х из [ — Х Х] окажется 9 |*.<*)к j . В частности, и | R (х ) | <С у - Положим, далее, n 0 S (x) n = c -t-c x-\0 t ... +с х". п Тогда /W = Значит, \f(x) -f(x ) 0 4 W H W . /<*о)=5л(*о> + *Л*о>S„ I + [ R (x) I + I R n n \*£\S„ix)- {x,)\, и тем более I / (x) -f (*„) I <\S (x)— n S (x„) I + | n e. (15) Ещё раз подчеркнём, что это неравенство доказано для всех х из [ — X, Х\. Отметим теперь, что S (х) есть обыкновенный алгебраический многочлен. Значит, это — функция непрерывная. Поэтому для на­ шего е существует такое 8 > 0 , что, как только [х — дг 1 <Г^ 8» так сейчас же n 0 (*•>!<£. Если же \х — * | < 8 вытекает, что 0 06) то из (15) и (16) и х $ [ — Х Х] 9 9 I/(*) - / ( * « ) I O 0 Этим и доказана непрерывность / (лг) в точке л? . Т е о р е м а 2. Равенство f (х)=с -\-с х±с х +с х* 0 1 % 91 % + ... (17) *) Чтобы доказать это с полной строгостью, достаточно в очевидном неравенстве п+т /г — п + J п+т 2 перейти к пределу при т — * + °о . 1*1*