* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
454
ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ
можно почленно интегрировать по любому замкнутому проме жутку [а, Ь], содержащемуся в открытом промежутке (—R,-{-R) где R — радиус сходимости ряда (11). Иными словами, мы утверждаем, что для всякого промежутка [а, Ь], у которого — R<^a<^b<^R будет
f
ь J
а
f(x)dx=c (b-a)^.c
0
l
+
C
a
+
...
(18)
Доказательство этой теоремы сходно с доказательством тео ремы 1. Именно, как и выше, мы начинаем с того, что закрепляем точку Х удовлетворяющую неравенствам
9
— R
К .
Поэтому при всех х из [ — X, X] и тем более при всех х из [а, Ь] будет \f(x)-S (x)\^R n n
В таком случае (по теореме 11 из п°23) ъ | J а или, что то же самое, ь IJ f(x)dx
a
{f(x)-S (x)}dx\^R~ {b-a),
n n
ь — J S (x)
n
dx j ^
R (b
n
— a).
a
Правая часть этого неравенства с возрастанием п стремится к нулю. Значит, j* f (x)dx= Остаётся заметить, что ь S x)dx=c (b-a)
ni 0
Hm j * S (x) dx.
n
+ c
1
^ -
±
. . . +<: Г.
п
0
так что этот интеграл есть не что иное, как частичная сумма ряда, стоящего в (18) справа.
