* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

452 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Во всех рассмотренных примерах, в которых было 0 < R < - f ^ оказывалось / ? = - | - 1 . Достаточно, однако, в любом из них взять вместо х отношение — (а > 0), чтобы получить пример ряда, у которого R = a. 40* Свойства суммы степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд с + с 0 г X + с 2 X* + с в X* + •.• , (11) радиус сходимости R которого отличен от нуля (случай 7 ? = - J - ° ° мы не исключаем). Сумма этого ряда будет функцией аргумента х, определённой во всех точках промежутка сходимости. Обозначим эту функцию через / ( х ) и займёмся изучением её свойств. Т е о р е м а 1. Функция f (х) непрерывна во всех точках, ле­ жащих внутри промежутка сходимости ряда. Подчеркнём, что, говоря о точках, лежащих в н у т р и проме­ жутка сходимости, мы исключаем его концы =Ь R, хотя ряд может сходиться и в этих точках Переходя к доказательству, выберем какую-либо точку х , лежащую внутри промежутка сходимости /?<С-^о<С^» и будем устанавливать непрерывность / (JC) именно в этой точке. Для этой цели выберем и закрепим ещё одну точку X, для которой выпол­ няются неравенства — 0 -х<х <х, 0 о<х<я. f t Эта точка тоже содержится в открытом интервале ( — R -\-R) и потому наш ряд (11) абсолютно сходится в ней. Иными словами, сходится ряд Ki + I .l*-H< l* .+ e c s I 3l* + 0 c 3 (12) Теперь возьмём совершенно произвольную точку х из проме­ жутка [ — X, Х\ (в частности, это может быть и точка х ) и со­ ставим ряд с о + n c х i + с ч * х + *г * 4х • • • О) 3 Пусть R„ и R (х) суть суммы остатков (после я-го рядов (12) и (13), т. е. • « • » члена) (И) ') Можно доказать, что в случае сходимости ряда в одной иэ точек :£ R функция f (х) остаётся непрерывной в этой точке, но мы не будем оста­ навливаться на этом.