* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
РЯДЫ
449
Цо если какая-нибудь последовательность имеет предел, то мно жество членов этой последовательности ограничено. Поэтому сущесгвует такое число М, что \с х*\<М.
я
(л = 0, 1, 2, . . . ) •
(7)
Заметив это, рассмотрим ряд (1) при значении дг, удовлетворяю щем неравенству (6). Этот ряд можно переписать так:
c
o+ < i * . ^ + ^ ( - ^ ) 4 ' 8 ^ ( ^ ) ' +
(8)
В силу (7) ряд, состоящий из абсолютных величин членов по следнего ряда, имеет мажорантный ряд
а так как этот ряд сходится (ибо это есть геометрическая про грессия со знаменателем — < 1),-то ряд (8), или, что то же самое, ряд (1), сходится абсолютно. Лемма доказана. Рассмотрим теперь какой-нибудь степенной ряд (1) и образуем множество Л, состоящее из тех лг, при которых наш ряд сходится. Это множество заведомо не пусто, ибо всякий ряд (1) сходится при х = 0. Пусть, далее, В есть множество абсолютных величин всех лг, входящих в Л, и R—точная верхняя граница ) этого множества В
1
/? = sup В.
Различим три случая, которые могут иметь место: 1) /? = 0, 2) 0 < / ? < + о о , 3) /? = + оо.
В первом из этих случаев ряд (1) сходится т о л ь к о при д г = 0 . Действительно, если он сходится при некотором х, то х £ Л, откуда \х\ £ В и [ л г | ^ / ? = 0. Рассмотрим теперь случай 2). В этом случае ряд (1) сходится, и притом абсолютно, при каждом х, входящем в о т к р ы т ы й про межуток ( — R , + /?)- В точках же, лежащих вне з а м к н у т о г о промежутка [ — R,-\-R], ряд расходится. В самом деле, пусть сна чала х ( ( — /?,-{-/?). Тогда |лг| <С /? и по свойствам точной верхней границы в множестве В обязательно найдется число, большее чем |дг]. Это число (по самому определению множества В) является абсолют ной величиной какого-то элемента дг множества Л . Иначе говоря, | л : | < ^ | д : | , причем дг ( Л . Но тогда по лемме Абеля ряд ( ^ а б с о лютно сходится для нашего дг.
0 0 0
') Если В — множество, не ограниченное сверху, то, как обычно, пола гаем /? = + оо.
29 Энциклопедия, к н . 3
