* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

450 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Если же х лежит вне [ — R -\-R] то \х\^> R. Значит, \х\ не входит в i i , а сам х не входит в А, т. е. при этом х ряд расходится. Наконец, в случае 3) множество В не ограничено сверху. Зна­ чит, для любого действительного х найдется элемент множества В, больший чем | х \. Этот элемент, как и выше, можно записать в виде |дг |, где x £ А. В силу леммы Абеля можно утверждать, что ряд (1) абсолютно сходится при взятом значении дг. А так как это было произвольное действительное число, то ряд оказывается абсолютно сходящимся на всей оси. Подводя итог нашему исследованию, мы можем формулировать его в виде следующей теоремы. Т е о р е м а . Всякому ряду (1) отвечает такое неотрицательное число ) R, что ряд абсолютно сходится в открытом промежутке ( — R, + R) расходится вне замкнутого промежутка [— R, -\- /?]. К этой теореме надлежит сделать ряд добавочных замечаний: 1) Смысл теоремы состоит в том, что множество тех значений х, при которых сходится степенной ряд (1), всегда есть некоторый промежуток, симметричный относительно точки лт = 0. Этот проме­ жуток называется промежутком сходимости ряда. 2) Промежуток сходимости може? вырождаться в точку х = 0, что имеет место при /? = 0. Возможны также ряды (когда /? = -|~ оо), у которых промежутком сходимости Служит вся числовая ось. 3) В теореме совершенно ничего не говорится о том, как ведет себя ряд н а к о н ц а х промежутка сходимости, т. е. в точках х = — R, x = -\-R. Как мы увидим, различные ряды в этих точках ведут себя по-разному, и потому никаких общих утверждений по этому поводу высказать нельзя. 4) Мы уже говорили, что ряд вида (2), т. е. расположенный по степеням х—а, приводится к виду ( I ) подстановкой х — а = лг\ Поэтому все сказанное выше переносится и на ряды (2). Промежу­ ток сходимости такого ряда будет симметричен относительно точки х=а и будет иметь концами точки а — R и a -^-RПриведем теперь ряд примеров, которые покажут, что все рас­ смотренные нами случаи могут действительно реализоваться на практике. Пример 1. Ряд f 9 0 Q ! и 1! + " 2 Г " Г ЗГ~Г 4! ~Г • сходится на всей числовой оси. В самом деле, применяя к нему признак Даламбера (теорема 3 из п°37), будем иметь (при любом х^О) « — л!» и ряд сходится. 1 а а " + ' — (л + 1)!' о п ~ "+1 п-+~ $ ) Это чвсло называется радиусом сходимости ряда.