* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

448 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Мы видим, что степенные ряды представляют собой выражения, способные изображать многие важные функции. Изображение функции в виде суммы степенного ряда может быть полезно в разных отношениях. Прежде всего оно даёт воз­ можность фактического вычисления этой функции, ибо частичные суммы ряда, будучи обыкновенными алгебраическими многочленами, вычисляются без труда, и в то же время эти суммы становятся сколь угодно близкими к изображаемой функции при достаточном увеличении числа взятых членов. Кроме того, представление функ­ ции степенным рядом часто позволяет устанавливать различные с в о й с т в а этой функции. Так, например, из формул (3) и (4) получаем: sfn (— дг) = — sin дг, cos (— х) = cos дг, т. е. что s\nx есть функция нечётная, a cos х — чётная. Мы на­ деемся, что изложенные здесь соображения достаточно объясняют тот большой интерес, который привлекает к себе теория степен­ ных рядов. Ниже важность этой теории (и, в частности, её важ­ ность для нужд э л е м е н т а р н о й математики) будет выявлена более обстоятельно. По отношению к степенному ряду (как и вообще ко всякому ряду, члены которого зависят от дг) бессмысленно ставить вопрос, сходится он или расходится, ибо один и тот же ряд при одних значениях х может сходиться, а при других — расходиться. Напри­ мер, ряд 1^_-2дг+Здг + 4 д ^ + . . . , а очевидно, сходится при дг = 0 и расходится при х=Ь Разумная постановка вопроса должна быть такова: при каких х сходится ряд (1) и при каких он расходится? Оказывается, что множество тех дг, при которых сходится степенной ряд (1), всегда имеет очень простое строение: это — промежуток, симметричный относительно точки х = 0. Докажем этот замечательный факт (от­ крытый Н. Г. Абелем, 1802— 1829). Л е м м а А б е л я . Если степенной ряд (1) сходится при неко­ тором значении х ^0, то он абсолютно сходится при каждом х, у которого 0 1*КЫВ самом деле, так как общий член сходящегося ряда C () 6 O~\~ I Q C X 4~^a-**o~f~ ^з-^оЧ" • • • стремится к нулю с возрастанием своего номера, то lim с х% = 0. п П»с - о