* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
240
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Последовательность { (f(r' ) \— возрастающая и ограниченная сверху; последовательность { / ( г £ ) } — убывающая и ограниченная снизу; значит, каждая из них имеет предел:
n
/(r' ')^c:
n
j
<>
60
Вместе с тем, переходя к пределу в неравенстве получаем Для доказательства того, что 0 = 0', сложения:
a
воспользуемся теоремой
9
n — n
Q
r
n. n
a
( JJ
6
tf Так как, очевидно, f' — r' делу в равенстве ( 6 1 ) даёт:
n n
'
Тп
0, то а
С = С
Тп
1 ), и переход к пре
(62)
1
Общее значение О и О' станем обозначать теперь через С (так что f(r' )С и /(г^) С), и покажем, что если { р } — какая угодно последовательность рациональных чисел, обладающая свой ством р „ - * с , то непременно / ( р ) стремится к С. Нужно убедиться, что, как бы мало ни было Е, при достаточно больших значениях п
n я п
|/(
Р п
)-С|< .
е
(63)
Возьмём N настолько большим, чтобы выполнялись неравенства
С— е < / Ы и /(Г£)<С+Е; (64)
тогда, так как с принадлежит промежутку (r#, rfr), то при достаточно больших п мы получим и следовательно, по свойству возрастания / ( г ) , /(^)
