* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 241 тельности { р „ } , если принять во внимание, что добавление ирра­ циональных точек не нарушает свойства показательной функции быть возрастающей. Таким образом, показательная функция f(x) = a*, определённая теперь при всех действительных значениях х, обладает свойствами непрерывности н монотонности во всём промежутке — O C X ^ J C ^ Наконец, остаётся в силе и «теорема сложения» 0 0 а* + *' = а* - а*"; (66) первоначально установленное (§ 20) для случая рациональных значе­ ний л/ и JC", ЭТО соотношение со ссылкой на непрерывность обобщается на случай иррациональных значений. Пусть последовательности рациональных чисел {х'„\ и \х' \ обладают свойствами x' ^xf и тогда достаточно перейти к пределу при л - ^ о о в равен­ стве а*п + * = а - а . п n п п я Укажем иной, более общий ход мыслей, позволяющий «по непрерыв­ ности» определять функцию f(x) для всех значений х из некоторого промежут­ ка /, если известны её значения в точках нсюду плотного множества~Е. Докажем теорему: Если заданы значения функции y—f(x) во всех точках множества Е, всюду плотного в промежутке I(a^x^b), причём 1° на множестве Е совокупность этих значений удовлетворяет тре­ бованию монотонности: с увеличением значения х увеличивается и значе­ ние f(x), 2° заданное множество значений f (х) в точках множества Е при­ надлежит некоторому промежутку К (A s^y ^ В) и также всюду плотно в нём, то значения функции f{x) в точках I , не принадлежащих Е, могут быть определены таким образом, чтобы функция f (х) была непрерывной во всём промежутке I . Доказательство строится совершенно таким же образом, как в случае распространения понятия степени на случай иррационального показателя, только «множество рациональных точек» заменяется «множеством / > , а роль произвольной иррациональной точки х=с играет произвольная точка, при­ надлежащая промежутку Л но не множеству Е. Заслуживает особого ннимания лишь то, как доказать равенство (62), не прибегая к специальным свойствам показательной функции и используя зато условие 2°. Допустим, что С < С"; тогда вследствие 2 существует такое значение х = г из множества Е, что С с . Итак, заключаем, что С' = С". г / П р и м е р 1. Чтобы доказанную теорему можно было, в частности, при­ менить к функции о ( о > 1 ) , нужно только проверить, что множество лг 16 Энциклопедия, к н . 3