* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ФУНКЦИЙ
239
х
Этот результат имеет ближайшее отношение к вопросу об о п р е д е л е н и и п о к а з а т е л ь н о й ф у н к ц и и f{x) = а (а } > 1). Со гласно формуле (69) из § 20:
0
/ ( i ) =
f
l
f = ypi
(56)
показательная функция а* определена (задана) во всех точках всюду плотного множества рациональных точек. Задача заключается в том, чтобы посредством операции перехода к пределу определить функ цию я* также и для иррациональных значений х. Пусть с — какоенибудь иррациональное значение х. Действуя по предыдущей схеме, достаточно выделить такую последовательность рациональных чисел {г \ что/*„-»•<:, и тогда значение а должно определиться по формуле
с п 9
f(c) = a = \\ma . (57) • оо Однако таким рассуждением нельзя удовлетвориться, так как нам з а р а н е е н е и з в е с т н о , существует ли такая непрерывная функция
n
c
r
f(x)
t
которая в рациональных точках
г
=
=
у
принимает
значения,
указываемые равенством (56). При таких условиях: 1) подлежит доказательству существование предела в правой части (57), 2) не обходимо убедиться, что этот предел не зависит от выбора после довательности рациональных чисел {г }. Нисколько не облегчает положения то обстоятельство, что функ ция а является непрерывной по отношению ко множеству рацио нальных чисел Е. Рассмотрим следующие примеры. Пусть с — иррациональное число; функ ция определённая при условиями t i 0 при X < с, о
л х
fi(x)
хфс
/ . < * ) = { , при
2
X > с,
или функция / (х) = sin—!—, определённая также прилете, являются обе непрерывными по отношению ко множеству рациональных чисел; и тем не менее не представляется возможным приписать функции fi(x) или f%{x) такое значение в точке JC = с, чтобы в этой точке они стали непрерывными. Для того чтобы определить показательную функцию f{x) = a ( а ^ > 1) в иррациональных точках, проще всего воспользоваться свойст вом её монотонности на множестве рациональных точек, т. е. свойством быть возрастающей, и, кроме того,—-теоремой сложения (см. § 20). Выберем возрастающую последовательность { г ' } и убывающую последовательность {f' } рациональных чисел таким образом, чтобы было r' ->-c rJJ-^c; тогда из неравенств г;<г^<...<г;<...<с<...<г' <...<г5<^ (58) следуют неравенства / W ) < / ( г 0 < . . .
