* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

238 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Легко понять, что из самого определения непрерывности вытекает следующее утверждение: если функция f(x), заданная в некоторой окрестности точки х = с, непрерывна в самой этой точке, то зна­ чение её в этой точке может быгь вычислено, раз известны её значения в точках некоторой последовательности \х \, имеющих пределом точку с. В самом деле, в этом случае (см. § 42) должно быть: п /(c) = lim/(* ). n Вместо того чтобы задавать значения функции в точках после­ довательности {JC„}, имеющей пределом точку с, конечно, можно было бы также задать её значения во всех точках некоторого мно­ жества Е— при единственном условии, чтобы из этого множества можно было выделить последовательность \х \, имеющую пределом точку с. Особенно интересны с рассматриваемой точки зрения всюду плотные множества. Точечное множество Е называется всюду плот­ ным, если, каков бы ни был данный промежуток (а, (3), а < ^ р , в этом промежутке содержится хоть одна точка Е. Говорят также о множествах Е, всюду плотных в данном промежутке /, если на*» званному требованию удовлетворяет всякий промежуток (а, 8), при­ надлежащий промежутку /. Нам уже знакомы примеры всюду плотных множеств: таковы множества 1) рациональных чисел, 2) конечных десятичных дробей, п 3) конечных бинарных дробей (чисел вида ^ , где т и п — целые). Если множество Е всюду плотно (в даннном промежутке Г), то, какова бы ни была точка с (из этого промежутка), всегда можно выделить такую последовательность точек \х \ из Е, что точка с является её пределом: х с. (55) п п Действительно, пусть {е } — убывающая последовательность по­ ложительных чисел и е —>0; из каждого промежутка (с — е , с-\-е ) (п=\, 2, 3, . . . ) выберем точку х , принадлежащую Е и тогда будем иметь соотношение (55). Заметим, между прочим, что последовательность {х \ может быть выбрана, если угодно, возрастающей или убывающей. Так, чтобы последовательность {х \ была возрастающей, достаточно взять х из промежутка (с — е с) и затем каждую следующую точку х выбирать внутри промежутка (х с) (л = 2, 3, . . . ) . Сравнивая со сказанным выше, мы приходим к заключению: если функция f (х) непрерывна в некотором промежутке I, то по заданным её значениям в точках некоторого множества Е, всюду плотного в промежутке I , можно вычислить её значения во всех точках L п п п п п 9 п п 1 1( Л+1 т