* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 237 П р и м е ч а н и е . Неравенство (54) позволяет судить о том, какую сте­ пень п д о с т а т о ч н о выбрать, чтобы сделать отклонение р (B ,f) меньшим, чем заданное число е. Например, если /(jc) = sinit#, то можно положить М=\, притом ) n t 1 | sin ъх' — sin я * " так что достаточно положить | < я | JC' — х" \, чтобы при |дг' — J C " | < B иметь | / ( * ' ) —/(•*") | < В таком случае неравенство (54) принимает вид е Итак, если, например, в = 0,1, то достаточно взять многочлен В (х) степени большей, чем 3141, чтобы отклонение р(В„, / ) стало меньше 0,1. Не следует особенно огорчаться этим результатом: взять столь высокую степень д о с т а т о ч н о для того, чтобы отклонение стало меньше 0,1, но н е о б х о д и м о с т и в том нет, и требуемое приближение на самом деле достигается при гораздо меньших значениях п. Если бы мы поставили своей задачей не выяснение принципиальной стороны дела, а оценку фактической погрешности, то рассуждение пришлось бы строить иначе (оно было бы значительно сложнее). п § 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества Вопрос, который мы здесь перед собой поставим, заключается в следую­ щем: можно ли установить значение функции y = f(x) в некоторой точке x = c если известны её значения в каких-то других точках, отличных от от точки с? Ответ, конечно, должен быть категорически отрицательным, если функ­ ция f(x) не подчинена никаким дальнейшим условиям: это вытекает из самого определения функции как «произвольного соответствия» (см. § 46). Иначе обстоит дело, если заранее наложить на функцию f(x) те или иные ограничения — выделить некоторый более узкий класс функции и рас­ сматривать лишь функции, ему принадлежащие. Так, например, если говорить только об э л е м е н т а р н ы х функциях (см. § 1), то можно было бы до­ казать, что, зная значения такой функции во всех точках некоторого про­ межутка сколь угодно малой длины, можно вычислить ее значения в любой точке за пределами промежутка, лишь бы в этой точке функция не теряла смысла. Но вот другой пример: читатель согласится, как с фактом очевидным, что для определения л и н е й н о й функции достаточно задать её значения всего лишь в д в у х точках; вообще для определения многочлена степени п достаточно указать его значения в п + 1 различных точках? 6 дальнейшем нас интересует, в какой степени значения функции в не­ котором множестве точек определяют её значения в точках, не принадлежа­ щих этому множеству, если заранее известно, что функция f(x) н е п р е ­ рывна. t 1 ) См. стр. 192.