* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

210 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО имеет предельную функцию / ( # ) , равную 1 в тех F(x) = 0, и рапную 0 во всех остальных точках. Положив подобным же образом точках, где мы получим предельную функцию f(x) = sgt\F(x), равную — 1 , о или - f - 1 , смотря по тому, будет ли F(x) отрицательным, равным нулю пли положительным числом. П р и м е р 11. Функция f (x)= p lim co§H(l(№w) q —• O D от предельной функции примера 4 отличается лишь тем, что график окат в 101 раз по направлению оси Ох. Она имеет значение 1, если х выражается десятичной дробью «ранга р» (см. § 36); во всех остальных точках она равна нулю. Рассмотрим теперь функцию /(*)= l\mf (x) p р -+ ас — предел последовательности Л ( 4 Л ( 4 /•(*),... Эта последовательность состоит из одних нулей, если х не представляется в виде конечной десятичной дроби, и из одних единиц, — если х есть деся­ тичная дробь ранга 1; если же, вообще говоря, х представляется в виде ко­ нечной дроби ранга £ ( > 1 ) (но не низшего), то первые k— 1 членов по­ следовательности— нули, все же остальные, начиная с А-го,— единицы. Та­ ким образом, функция f(x), т. е. предел последовательности { / (х)} равна единице, если х представляется в виде конечной десятичной дроби, и равна нулю, если х таким образом не представляется. Нарисовать график функции y = / ( j t ) , конечно, невозможно, но всё ше его можно смыслить», как множество точек, «всюду плотно» расположенных на каждой из прямых у = 0 и у = 1 (в плоскости иху). Следует обратить внимание на то, что при определении функции f(x) в этом примере операция перехода к пределу выполнялась дважды: f(x)= lim Ига co$*v (\Wюе). (13) р —* оо q -+ се л § 46. Общее понятие функции одной действительной переменной Как можно было догадываться заранее, мы заключаем, основываясь на рассмотрении предыдущих примеров, что допущение операции перехода к пределу на равных правах с прочими «элементарными» операциями откры­ вает неограниченные возможности для расширения классов рассматриваемых функций. Так возникают функции, имеющие разрывы разнообразных типов ) 1 *) В частности, такие, что все три числа L'=f(c— оказываются различными между собой (см. § 41). 0), /(с) и / / ' = / ( с + °)