* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 211 (см. примеры 2—6, § 45); функции, «склеенные» из нескольких данных функ­ ций (примеры 7 и 9, там же); функции, определяемые одним или другим спосо­ бом в зависимости от того, какому «множеству» принадлежит значение не­ зависимой переменной (примеры 10—11, там же). Как мы видим, ограничивать себя рассмотрением лишь класса «элементарных» функций становится искус­ ственным, плохо оправданным, запретом. К тому же легко придти к мысли, что проще и удобнее определять функцию непосредственно системой равенств вроде (7), (8) или (9), чем посредством предельных переходов, подобных указанным выше. Естественно сделать еще один решительный шаг вперёд и сказать, что существенным в самой идее функции является то, какие значе­ ния оиа принимает при различных значениях переменной, а не то, какие операции нужны для вычисления её значений. Высказанные соображения достаточны для того, чтобы не только де­ кларировать, но и внутренне оправдать то определение понятия функции действительной переменной, которое единственно принято в настоящее время в науке. Говорят, функция что на некотором числовом множестве Е задана если с каждым значением «независимой» переменной х из мно­ жества Е каким бы то ни было способом сопоставлено некото­ рое, только одно, значение «зависимой» переменной у. Другими словами: указано правило, на основании которого каж­ дому значению х из Е единственным образом приводится в соот­ ветствие некоторое значение у . Это определение необычайно р а с ш и р я е т понятие функции, так как характер указываемого «правила» ничем не ограничивается: в частности, роль «правила» может играть формула, содержащая элементарные операции, но это не обязательно. Вместе с тем новое определение несколько с у ж а е т понятие функции: раз каждому значению х соответствует т о л ь к о о д н о значение y=f(x) значит, тем самым устраняются из рассмотрения «многозначные функции», и остаются лишь «однозначные». Введение понятия однозначной функции имеет для изложения теории функций действительного переменного первостепенное методическое значение: ограничиваясь лишь рассмотрением однозначных функций (или «расщепляя» многозначные функции на ряд однозначных), мы упрощаем формулировки многих утверждений. Мы уже упоминали об определении функции как соответствия в § 1,— правда, лишь в предположении, что функция «задана» в некотором проме­ жутке, а не в «произвольном множестве» точек. Приведём еще несколько примеров функций, задаваемых «независимо от формулы». П р и м е р 1. Функция, называемая «целая часть х> и обозначаемая t f(x) = {x\, (14) определяется для любого значения, как наибольшее целое число, не превы­ шающее данного значения х. Например, [ 7 - i ] = 7, И = 3 , 14* [-2,47]=-3.