* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
200
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Нет необходимости приводить доказательство этого утверждения. П р и м е р 3. Если бы было легко доказать элементарными сред¬ ствами, что функция
/(*) = (!
— возрастающая, то она могла бы хорошо иллюстрировать пре дыдущую теорему. Не имея, однако, возможности опираться на это свойство, мы, чтобы доказать равенство lim
Х-+СО
(Ю9)
станем рассуждать несколько иначе. Нам уже известно (см. при-
-£ S -(f -J -Z
О 1
Z 3
Ч 5
В 7 В 3
Wx
Рис. 78. мер 2), что / ( и ) - » - с ; предположим теперь, что л : - * о о , и докажем, что /(*;„)-*• е. Пусть (как раньше)
я
/»„<•*»»+1.
где р — целое. Тогда
п
( ' + ± Г < ( ' + £ Г ' - ( ' + * ) * • ( • + £ ) <»°>
и, с другой стороны,
( +Я">('+еттГ= 1
1
( ! ±
+
#^-
Нетрудно сообразить, что правые части в обоих неравенствах (110) и (111) имеют предел е; отсюда следует соотношение
и, наконец, (109).
