* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 199 Его числовое значение даётся равенством е = 2,71828 . . . Число е играет большую роль в математическом анализе: его принимают в качестве основания системы «натуральных» логариф­ мов ) (см. стр. 316). Сказанное относительно последовательностей оказывается спра­ ведливым и для функций. Если функция f(x) заданная в некоторой окрестности точки (-f-oo), является возрастающей {или хотя бы неубывающей) и обладает свойством ограниченности сверху, то существует ко­ нечный предел L= lim / ( * ) . 1 t х — со Нужно доказать, что, какова бы ни была последовательность {дг } в заданной окрестности точки (-|-оо), из условия х ->оо следует, что последовательность \/(х )\ стремится к некоторому одному и тому же пределу. Последовательность \/(п) } — возрастающая и ограниченная; положим L = lim /(/г). (106) я п п Пусть р — такие целые числа, что п Рп^*п<Рп + 1 («=1. 2, . . . ) • (Ю7) Из неравенства (107) следует: f(p„)*£f(x ) оо и р -{-1 -> оо, а из соотношения (106) вытекает f(p )-+L и f(p -\1 ) - * L , то отсюда на основании не­ равенства (108) заключаем: f(x )^L. n Подобная же теорема справедлива, конечно, и в случае функции / ( J C ) , убывающей (невозрастающей) и ограниченной снизу в окрест­ ности точки (-{- ОХ)). Аналогичные формулировки существуют и для точки (— оо). Наконец, не исключается и случай одностороннего приближения неизвестной переменной к конечному пределу: Если функция /0*0, заданная в некотором промежутке с<^х<^с-\-Ъ или с — 8 < ^ д : < ^ с , где 8 > 0, изменяется монотонно (т. е. не убывая или не возрастая), то существует предел f(c-\-0) (или / ( с — 0 ) ) . Этот предел конечен в том случае, если функция в данном промежутке ограничена. ) Логарифмы, взятые по основанию е, часто обозначаются следующим образом: 1 \og x=\n e х.