* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

174 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО по основной теореме имеет хоть одну «конечную» предельную точку. Далее, остается в силе (расширяя свой смысл) определение: пределом последовательности называется предельная точка, если она — единственная. Допустим, что единственная предельная точка есть -\- оо, и перефразируем это утверждение. Так как — оо не есть предельная точка, то последовательность ограничена снизу, так что в некотором промежутке (— оо, т) нет ни одной точки после­ довательности; так как никакая «конечная» точка не есть предель­ ная точка, то во всяком «конечном» промежутке [т, Ж], где М^>т, имеется лишь конечное число точек последовательности. Среди индексов этих точек возьмём наибольший и обозначим его через N = NMI тогда окажется, что при условии n^>N точка а непре­ менно находится в Ж-окрестности точки -f- оо, т. е. удовлетворяет неравенству а ^>М. Ясно и обратное: если, как бы велико ни было Ж, все точки а при достаточно больших значениях п нахо­ дятся в Ж-окрестности точки последовательность \а \ не имеет иных предельных точек, кроме - | - оо. Мы приходим, таким образом, к следующему определению: Считается, что последовательность \а ) имеет предел -f- оо ( « а стремится к бесконечности»), если, как бы велико ни было наперёд заданное число М, можно указать такое число N=NM» что неравенство п п п т 0 п п п Й>Л/ (48) влечёт за собой неравенство а >Ж. я п (49) Иначе: последовательность \а \ имеет предел -\-<х>, если её общий член становится сколь угодно большим, раз только доста­ точно велик его индекс. Пишут: 1) lim а „ = оо, 2) а „ - * о о . Иногда вместо того, чтобы говорить «стремится к бесконечности», го­ ворят «расходится к бесконечности». Воздерживаясь от повторений, скажем, что последовательность \а } имеет предел — ос», если, как бы велико ни было наперёд заданное число Ж, можно указать такое число N=NM ЧТО нера­ венство n>N (50) п 9 влечёт за собой неравенство а Запись: Ига а = — оо, п п < - Ж . (51) или а -> — оо. Л