* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 175 Приведём несколько примеров. 1. Последовательность натуральных чисел [п\ имеет единствен­ ную предельную точку, т. е. предел, -\- оо. То же справедливо относительно последовательностей \п \ при а>0. 2. Последовательность { ( _ 1 ) » м } = = 1 , — 2 , 3, — 4 , 5, — 6 , а я имеет две предельные точки -{-оо и — о о , и следовательно, не имеет предела даже и в «несобственном» смысле. 3. Если последовательность {а \ не имеет конечных предельных точек, то lim | а | = - { - оо. 4. Арифметическая прогрессия \а -|- ( Й — I ) d\ имеет предел - { - оо или — о о , смотря по тому, будет ли d ^ > 0 , или с?<^0. 5. Геометрическая прогрессия \q \ имеет предел - | - о о при q^>l ), и не имеет предела при q<^—1. Но в этом последнем случае, конечно, lim | q j = - f - оо. п п n l n 6. lim (l +Y^"¥^"••""^"4•) ==0C, (" с м конец § )- 35 . + ««' l ^ l + *) / p {sin/исб}, а это противоречит примеру 16 § 37. По поводу основных теорем I—IV § 38 необходимо сделать предостережение: на случай бесконечных пределов они переносятся лишь частично. Справедливы такие теоремы (доказательство их предоставляем читателю): Г. Если fl -*-f-oo, 6 > w , то а - [ - 6 - | - о о . Г. Если д - * _ оо, Ь <М, то а + Ь -> — оо. (Теоремы типа II заменой знака сводятся к теоремам типа I). n n п Я я п а п 7. Последовательность 2 на стр. 151 имеет в качестве предель­ ных точек все натуральные числа и ешё -{-оо. Предела нет. 8. Последовательность {т£шг6},где Ь—иррациональное число, имеет предельными точками все числа без исключения н ещё -f- оо и — оо. 6 самом деле, если бы в некотором промежутке (а, (3) не было ни одной точки последовательности {tg/nrf)}, то в промежутке Р . , не было бы ни одной точки последовательности ПГ. Если а - * - о о , & „ > т > 0 , ПГ. Если а - * 0 , | £ | < Ж , я я Я то а £ - * о о . то а » - * 0 . я п я я I V . Если а - » о о , 0 < 6 < У И , я Я то ?*—>оо. IV". Если а -*0, п я |ft„|>m>0, то-"=--*(). то 0 I V " . Если | о | < Л 1 , | * J - * • « > , ПГ\ г я ^->0. || -|-*оо. я Если | а | > / я > 0 , | й „ | " * ' то ) Доказательство см. на стр. 81.