* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 173 Перейдем к общему случаю. ( л = 1 , 2, . . . ) ; значит, Ъ — а ^0 теоремы I I Ь — а -+Ь— а. По уже Ь — д ^ О , т. е. Ь^а. В частности, заключение теоремы часто встречающемся случае, когда дующим: п п п п По предположению Ь ^а (п = 1, 2, . . . ) . На основании доказанному (частный случай) п п сохраняется и в том, особенно условие (46) заменяется сле­ Иными словами, из неравенства а <^Ь вытекает, что а^Ъ (но не а<^Ъ). Этими соображениями оправдывается следующее правило: «при переходе к пределу в неравенстве нужно добавлять знак ра­ венства». п п § 39. Обобщение понятии предела (пределы в «несобственном смысле») Мы познакомимся теперь с некоторыми условными оборотами речи, широко употребляемыми в математической практике. Условимся называть «окрестностью точки - j - оо» всякий проме­ жуток, не ограниченный сверху (без начальной точки), и будем такой промежуток х^>М (или М <С ^-\°°) х< называть Ж-окрестностью точки -|- оо. Говорят, что последовательность имеет «предельную т о ч к у о с » , если во всякой «окрестности точки -f- оо» содержится бесконечное множество точек последовательности. Это как раз означает, что последовательность неограничена сверху. Аналогично определяется «окрестность точки — оо» — как вся­ кий промежуток, не ограниченный снизу (без конечной точки); та­ кой промежуток л г < — М (или — о о < ^ х < ^ — М ) называется «(—Ж)-окрестностью точки — о о » . Если говорят, что последовательность «имеет предельную точку — оо», то это равно­ сильно констатации того, что последовательность неограничена снизу. Формулировка теоремы Больцано-Вейерштрасса теперь упро­ щается: Всякая бесконечная последовательность \а \ имеет хотя бы одну предельную точку (в «собственном» или в «несобственном» смысле). В самом деле, если последовательность не ограничена сверху, то она имеет предельную точку -f- оо; если не ограничена снизу, то имеет предельную точку — оо; если ограничена сверху и снизу, то п