* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 165 следует, что с есть е д и н с т в е н н а я предельная точка этой после­ довательности. Докажем и это «от противного». Пусть, кроме точки с, есть ещё предельная точка c (рис. 69, б). Так как € — предельная точка, то в лю­ бой её е-окрестности содержится бесконечное множество точек последовательности. Что касается точки с, то в её е-окрестности содержатся «почти все» точки последовательности. Выбрав е удос * с влетворяющим неравенству С ~ 2 — ' * получим с-\-г<^(? — е. Две е-окрестности оказались не имеющими ни одной общей точки; мы пришли к противоречию. Подвергнем, наконец, перефразировке выражение «почти все» точки последовательности. Если «почти все» точки последователь­ ности заключены в некоторой е-окрестности точки с, то это зна­ чит, что лишь конечное их число находится в н е этого промежутка. Каждый из этих членов последовательности имеет свой индекс, и раз число их конечно, то среди этих индексов есть наибольший. Обозначим этот наибольший индекс через N. Он зависит, конечно, от выбранной окрестности точки с, т. е. зависит от числа е; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда при N ставят значок е и вместо N пишут 7У . Итак, среди членов последовательности {а }, у которых индекс п не превышает N, одни, может быть, попадают в е-окрестность точки с, другие оказываются вне её; но если только n^>N,w можно уже наверное сказать, что соответствующий член а находится в е-окрестности/ Высказанные соображения позволяют иначе сформулировать поня­ тие предела числовой последовательности. Это иное определение, к которому мы сейчас обратимся (исторически раньше сложившееся логически строго равносильно приведённому выше. В п п е < § 38. Предел последовательности: классическое определение и основные свойства Число о ) называется пределом (конечным пределом, пределом «в собственном смысле» — см. § 39) числовой последовательности если, как бы мало ни было наперёд заданное число е, можно указать такое число N=N& что n>N влечёт за собой 1 4 положительное неравенство (37) неравенство п | а — а | < е. (38) ) О. Коши впервые дал то определение предела, которое в настоящее время является общеизвестным и повседневно употребляемым. ) Для удобства дальнейшего изложения буква с предыдущего параграфа заменена здесь буквой а. 8