* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

164 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Если ограниченная последовательность имеет только одну предельную точку, то эта точка называется пределом после­ довательности. Если же ограниченная последовательность имеет б о л е е о д н о й предельной точки, то говорят, что последовательность н е и м е е т предела. Таким образом, каждая из последовательностей, приведенных в примерах 1—6, имеет предел, а последовательности в примерах 7—16 предела не имеют ). Если точка с есть не только предельная точка, но и предел ограниченной последовательности {а \, то верно не только то, что в любой окрестности с лежит б е с к о н е ч н о е м н о ж е с т в о точек последовательности, но и то, что в любой окрестности с л е ж а т ^ п о ч т и в с е точки послеj f ^ 1 _ довательности. При этом /77 с-е с с+е м «почти все» означает—«все, а) кроме, может быть, конеч­ ного числа». Желая это установить, с-е с с*£ с-е с с*£ достаточно, как и раньше, # ограничиться рассмотрением Рис. 69промежутков, по отноше­ нию к которым с является центром. Итак, пусть дана некоторая е-окрестность точки с (рис. 69,а); считая, что все точки последовательности \а \ заключены между т и М, можно допустить, что е<^М—с и е < ^ с — т, так что промежугок [с — е, с -|- е] лежит внутри промежутка (т, М). Будем рассуждать «от противного»: все точки последовательности \а \ лежат в промежутке [т, М], и если бы было неверно, что «почти все» они лежат в промежутке [с — е, с-(-е], то это означало бы, что бесконечное множество их заключается в паре промежутков [т, с — е] и [с —|- е, М], и следовательно, заключается хотя бы в одном из них, например в промежутке [т, с — е]. Но по теореме Больцано-Вейерштрасса отсюда следовало бы, что последователь­ ность {а } имеет предельную точку в промежутке (т, с — е). По­ следнее невозможно, так как, по предположению, с — единственная предельная точка последовательности. Мы приходим, таким образом, к заключению, что «почти все» точки последовательности лежат в промежутке [с — е, с -— е]> J Обратно, если верно, что в любой окрестности точки с лежат «почти все» точки бесконечной последовательности \а \, то отсюда 1 п t п п п п *) Это относится и к примеру 14. Можно утверждать, что последова­ тельность, приведённая в этом примере, имеет по крайней мере две предель­ ные точки. Иначе число к представлялось бы периодической десятичной дробью и в таком случае было бы рациональным (см. Э. э. м., кн. 1, стр. 312, теорема 4), тогда как доказано, что it — число иррациональное.