* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 163 Возможны два случая: 1) | А = Х и 2) р.<Х. Первый случай приходится отвергнуть. В самом деле, если р = Х, то у дуг L и L совпадают как начальные, так и конечные точки; значит, дуга L получается нз дуги L в результате вращения на угол, который равен (Я—Р) ^ другой же стороны, этот угол является кратным 2it В таком случае (Я — Р) i& = 2пс (г — целое), т. е. 6= - * , p q 7 с p q я— Р' что противоречит предположению относительно иррациональности 6. Но приходится отвергнуть и второй случай. Действительно, в дуговом промежутке, покрываемом о б ъ е д и н е н и е м дуг L и L , не содержится точек Р , так как их нет ни на дуге L , ни на дуге L ; длина же его равна p q п p g 2Х-н->Х, что противоречит определению дуги L. Т е о р е м а . Если некоторое множество точек Е имеет в данном (ко­ нечном) промежутке бесконечное множество предельных точек, то всякая предельная точка множества, составленного из этих предельных точек, есть вместе с тем предельная точка данного множества. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Е' есть множество предельных точек дан­ ного множества Е и пусть с" есть предельная точка множества Е. По предположению, в любой окрестности точки с" имеется сколько угодно точек множества Е', и вместе с тем в любой окрестности каждой из точек с' множества Е имеется сколько угодно точек множества Е; требуется дока­ зать, что в любой окрестности точки с" имеется хоть одна ) точка данного множества Е, отличная от с". Пусть (с" — е, с" + е) — заданная окрестность точки с". В окрестности ^ с " — g - с" ° й точки мы найдем точку с' множества Е и будем 1 э т t иметь: В окрестности ^с*—^-, с* — | — т о ч к и t? существует сколько угодно точек данного множества Е, выберем одну иэ них, например с, отличную от с", так что будет: |с-с'|<^-. Тогда по известному свойству абсолютных величин ) получим: \с-с»\^\с-с'\ что и требовалось доказать. П р и м е ч а н и е . Теорема остается справедливой, и сохраняется в силе доказательство, если «множество Е» заменить «последовательностью {а,.}»См. примечание 2 на стр. 159. См. сноску ) на стр. 170. £ 8 + \с'-с"\<^+^ = *. 11*