* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

162 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО для которой предельными точками являются все числа Ь т , т , и т. д. и е щ е ч и с л о 0 (см. по этому поводу теорему на стр. 163). 13. Последовательность 1 на стр. 151 имеет две предельные точки: 0 и 1. 14. Последовательность 3 (там же) не может иметь иных пре­ дельных точек, кроме десяти следующих; О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все ли они являются предельными точками этой последовательности,— в настоящее время нельзя считать установленным. 15. Последовательность 4 (там же) имеет в качестве предельных точек все числа х без исключения из промежутка [0, 1]: 0*^х*£ К Действительно, в любом промежутке содержится бесконечное мно­ жество рациональных чисел (рациональные числа расположены всюду плотно ). 16. Последовательность {sin/zn6}, где 6 — иррациональное число, имеет предельными точками все точки промежутка [ — 1 , - | - 1 ] : ! Доказательство теоремы проведем «от противного». Вообразим, что на единичной окружности отмечены, как принято в три­ гонометрии, все точки Р„, соответствующие центральным углам вида ягсЬ, а также на вертикальном диаметре — их проекции Р (п=\, 2, 3, . . . ) . Если бы на этом диаметре существовал хоть один промежуток, на котором бы не было точек Р* , то на окружности, очевидно, нашёлся бы «дуговой» проме­ жуток, на котором бы не было точек Р„. Таких промежутков на окружности может быть больше чем один, но так как сумма их длин не превышает длины окружности 2я, то срепи них можно выделить н а и б о л ь ш и й (или один из наибольших, если их несколько). Обозначим через L дугу окруж­ ности, соответствующую этому промежутку, и через X — её длину (0 •< X < 2к). Вращая дугу L около центра на угол 2пп, кратный 2т, мы получаем новую дугу однако соответствующую тому же самому дуговому промежуткуУсловимся теперь называть гомологическими между собой такие дуги, которые получаются одна из другой посредством вращения на угол, крат­ ный пб. Если дуга U — гомологическая по отношению к L , то ясно, что на ней также пет точек Р„. Рассмотрим совокупность дуг L ( я = 1 , 2, 3 . . . ) гомологических дуге L= Так как длина каждой нз них равна Х > 0 , а число их — бесконечное, то наверное какие-нибудь две из них, например L и L (p<.q), окажутся покрывающими на окружности один и тот же дуговой промежуток М длины И > 0 ) . п п n # # p q *) См. Э. э. м., кн. 1, А. Я- Хин ч и н . Элементы теории чисел, гл. IV и V-