* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ I I ИХ ГРАФИКОВ 93 § 24. Произвольная степенная функция Степенная функция у=х? (97) была рассмотрена для случаев, когда а — целое положительное или отрицательное ю (см. § 7 и § 13), затем — для случая, когда а = -^- — любое рациональное число (§ 18). Случай когда а — ирра­ циональное число, подразумевает предельный переход «по непре­ рывности» в показателе. Заметим предварительно, что функция х даже в случае а рационального (при чётном знаменателе) теряет смысл для отрицательных значений х\ если а — иррациональное, то при х отрицательном выражению х нельзя приписать никакого смысла ни непосредственно, ни в результате предельного перехода. По этой причине, рассматривая иррациональную степень х*, пере­ менной х не дают отрицательных значений и считают, что эта функ­ ция задана только для положительных значений х Можно доказать, что функция (97) при а иррациональном является трансцендентной функцией, т. е. степенная функция относится к числу алгебраиче­ ских функций только при а рациональном. Выбрав произвольное положительное основание а, формуле (97) часто придают вид а а = (a a ) = a ** *). (98) Такая запись имеет теоретическое и практическое оправдание. С одной стороны, предельный переход по непрерывности предста­ вляет собой довольно сложное построение, которое можно осуще­ ствить одинаково как по отношению к показательной функции, так и по отношению к степенной (в последнем случае, как было ука­ зано, с ограничением х^>0); но целесообразно осуществить её лишь один раз, именно, по отношению к показательной функции, с дальнейшим автоматическим перенесением на обратную функцию— логарифмическую (см. § 52) и, далее, опять автоматически — с по­ мощью формулы (98) — на степенную*). *) Логически это — определение произвольной степени; формула логариф­ мирования произвольной степени отсюда вытекает как следствие. ) Возможен и иной ход мыслей: сначала определяется для всех значе­ ний J C > I логарифм («натуральный», т. е. по основанию е, см. гл. Ш, § 44) согласно формуле х а ]og x a aloe как площадь, ограниченная гиперболой у = —, осью Ох и вертикалями, прох ведёнными через точки 1 и х на этой оси; затем показательная функция (с основанием е) определяется как обратная по отношению к логарифму; нако­ нец, степенная функция х определяется по формуле х = е а а а1пх т