* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

296 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОП И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ так как каждое и* е является корнем двучленного уравнения хГ —1=0, где т=р р --. р& и потому является некоторой сте­ пенью е. Отсюда следует, что Р ( е , , . . . , e ) = P(e). На основании теоремы 37 имеем, что LZDK, НО не равно К. Относительно полей Р и К представляются две возможности: либо f(=P либо / Г ю Р . Если К=Р, то теорема очевидна. Поэтому пусть P e z z e r Е. (3) ( 1 г 2 fe 9 По теореме 33 соотношению (3) должно соответствовать соот­ ношение где G,—группа поля Е над Р, G — группа того же поля над К и Е — единичная группа (т. е. подгруппа, состоящая только из еди­ ницы). Очевидно, что G есть вместе с тем и группа уравнения (2) над КПоле Е можно, очевидно, рассматривать как нормальное поле многочлена 2 2 h(x) = F (х) + х» -* + ... + х + 1) 1 (m= PlPi ...р„) над Р . Таким образом, G, есть, кроме того, группа уравнения п(х) = 0 над Р . Обозначим корни многочлена x ~ -|-|- х-\-1 через 6,, 6 , . . . , 8 _,. Тогда корнями h(x) будут: а „ а , , а , 6„ . . . , 8 _,. Эти корни между собой различны, так как по теореме 37 много­ члены F(x) и х^~ -(- . . . - j - х -|— 1 не могут иметь общих корней. Посмотрим, что представляет собою подстановка s группы Gj. Эта подстановка не может перемещать а в 6у. В самом деле, если бы a-s было равно 6 то F(a ) = 0 под влиянием 5 перешло бы в / (6 -) = 0, что в силу теоремы 37 невозможно. Таким образом, под­ становка s из G, должна иметь вид m l 2 т 2 п т 1 к 4 /( i ? / /а, а. . . . а Ь п а а 8 п г 6 6 2 6^ \ ( 4 ) W*i / • • • 1 /1 У • • • &ym-lA Покажем, что индексы 1 / , . . . , i во второй строчке выражения (4) образуют произвольную перестановку // чисел 1, 2, . . . , //. Дей­ ствительно, так как Е = ) 2 = ? Р и группа ноля 2 над Р есть сим­ метрическая группа S , то по теореме 34 Gj Л ? 5 и при этом гомо­ морфизме а а а (5) 2 19 2 n n П ( 2 п 6 Теперь, если бы в выражении (4) индексы l i , . . . , i не пробе­ гали бы всех п\ перестановок из п чисел 1, 2, п, то соответ­ ствие (5) не исчерпывало бы всех подстановок s симметрической u 2 n