* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАЦИКАЛАХ 295 где Pi(x) — различные неприводимые над Р многочлены. Пусть а есть корень р (х), а а , — к о р е н ь р^(х). Возьмем подстановку, пере­ мещающую только корни а, и а : _ / 1 2 ... / j ... п г г у \1 2 . . . у i ... п и применим ей к рациональному соотношению p (a ) — 0. Получим p (aj) = Q. Отсюда многочлен /?, (х) должен в силу неприводимости делиться на р (х), вследствие чего р (х) и р (х) совпадают с точ­ ностью до множителя нулевой степени, что невозможно. Т е о р е м а 37. Если (2) есть попрежнему уравнение с сим­ метрической группой над полем Р и степень уравнения (2) больше двух, то ни один из корней такого уравнения не может быть рациональной функцией первообразного корня k-й (нечётной) сте­ пени из единицы над Р. Иными словами, ни один из корней а, уравнения (2) не лежит в поле Р ( е ) , где е — первообразный корень А-й степени из единицы. Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 35 группа G' поля Р ( е ) над Р является коммутативной. Так как по теореме 36 многочлен F (х) неприводим над Р, то, предполагая, что в Р (е) лежит по меньшей мере один корень F(x), получаем на основании теоремы 28, что в Р ( е ) должны лежать все корни F(x), т. е. P ( a . . . , o )crP(e). Таким образом, на основании теоремы 34 получаем, что G'AsG, где G — группа уравнения (2) над Р или, что то же, поля Q над Р . Из гомоморфизма G'°&G вытекает, что G — также комму­ тативная группа *). Но последнее невозможно, так как по условию G — симметрическая группа: G = S , а при п ^> 2 симметрическая группа не является коммутативной. Т е о р е м а 38. Пусть попрежнему (2) есть уравнение степени п^>2 с симметрической группой над Р . Тогда группа уравнения (2) над полем / f = P ( e „ е ), где е, — первообразные корни из единицы простой нечётной степени р (р между собой различны), будет также симметрической. Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим для краткости P ( a . . . , а ) через Q и К(а-\> . , <*„) через Е. Мы утверждаем, что Д = Р ( е ) , где е — первообразный корень РхРя Рь-й степени из единицы. В самом деле, с одной стороны, x i % г х 2 |F rt n л г ь lf п г так как нетрудно убедиться, что произведение е,е . % есть пер­ вообразный корень PiPt . . . / V степени из единицы. С другой стороны, P(e . . . , e ) c = P , 2 й lf f t ( e ) *) Действительно, если элементы а'Ь ' группы G', отображаются па эле­ менты о, b группы G, то а'Ь*—ab и Ь'а'—> Ьа. Так как группа G* коммутативпая, то ab'~b'a\ Отсюда и ab = ba, т. е. группа G также должна быть коммутативной. 1