* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
В РАДИКАЛАХ
297
группы S , вследствие чего G не могла бы гомоморфно отобра жаться на S (она отображалась бы на правильную часть S ). Посмотрим, далее, что представляет собою группа G поля Е над К* Согласно теореме 33 группа G состоит из тех и только тех подстановок G которые оставляют неподвижными элементы промежуточного поля К и, в частности, оставляют неподвижными 6,-. Отсюда получаем, исходя из выражения (4), что группа G должна состоять из всевозможных подстановок t вида
n t n n 2 2 J( 2
t
/ 1
а
а
2
••• п
i%
а
в, 6j . . .
in
6
m-l\
\a
£l
a
... a
6, 6 . . .
2
Ъ „ ).
т х 2 n
Теперь без труда убеждаемся, что группы G и S изоморфны. Именно, изоморфным отображением G на S здесь будет соответ ствие
2 n
Итак, теорема доказана; группа G уравнения (2) над К с точ ностью до изоморфизма совпала с симметрической группой S . Мы подошли вплотную к основной теореме о неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений с симметрической группой. Т е о р е м а 39. Если группа уравнения п-й степени
2 n
F(x) = A x
0
n
+ Ax -+
l
n l
... + Л
П
= 0
(6)
(Л; — комплексные числа) является симметрической и степень уравнения больше четырёх, то уравнение неразрешимо в ради калах. Д о к а з а т е л ь с т в о . Роль поля Р здесь играет область рацио нальности А уравнения K=A(e . . . , e ). По теореме 38 группа уравнения (6) будет симметрической и над полем К- Таким образом, к этой группе будут также принадлежать подстановки
lf ft
_ /1 2 3 4 5 6 . . . п\
S
_/1
—
2 3 4 5 6 . . . п\
~\2
3 4 5 I 6 ... J , и
\ I 2 4 5 3 6 . . . п),
у
1 2 3 4 5 ... п
2 3 1 4 5 . . . п,
Эти подстановки, как и любые подстановки группы уравнения над К. не будут изменять элементы А' и, в частности, будут оставлять неподвижными е,.. Поэтому мы можем дословно повторить все рас суждения, приведенные в доказательстве' теоремы Руффини-Абеля (см. § 16). В результате мы получим, что корни а и а уравнения (6) равны, что невозможно в силу неприводимости многочлена F(x).
х 2
