* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

286 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и выше, строим вспомогательный много­ член g(x) над Р , имеющий to своим корнем. С одной стороны, все корни многочлена g(x) лежат в поле 2 . С другой стороны, g(x) имеет с многочленом р (х) общий корень to и потому в силу непри­ водимости р(х) делится на р(х). Но в таком случае корни р(х) должны войти в состав корней g(x). Отсюда следует, что корни р (х) должны лежать в 2 . Т е о р е м а 29. Если нормальное поле 2 изоморфно отобра­ жается на некоторое промежуточное поле Д ( Р ' с г д е й ) так, что элементы Р остаются неподвижными, то Д = 2. Д о к а з а т е л ь с т в о , Прежде всего легко убедиться, что нор­ мальное поле 2 образует векторное пространство над Р относительно операций сложения элементов 2 и умножения элемента 2 на элемент поля Р . В самом деле, любой элемент нормального поля 2 = Р ( а , . . . ,а ) является многочленом от а,, . . . , а с коэффициентами из Р . Склады­ вая два таких многочлена, мы, очевидно, получим снова многочлен от a j , . . . , а с коэффициентами из Р . Точно также умножая много­ член от а . . . , а с коэффициентами из Р на элемент поля Р , мы получим снова многочлен от a ... , а с коэффициентами из Р . Кроме того, выполняются и те требования, которые в опре­ делении векторного пространства были сформулированы в виде аксиом I — V (см. стр. 42—43). Очевидно, что промежуточное поле Д относительно тех же операций будет подпространством пространства 2. Далее, легко показать, что 2 — конечномерное пространство. Действительно, поскольку а ( / = 1 , 2, . . . , п) является корнем алге­ браического уравнения (1) л-й степени, любая степень а* с показа­ телями k ^ n будет линейно выражаться через низшие степени 1 л п п и п lt п £ а - ° = 1 , a . . . , а" \ Поэтому каждый элемент а нормального поля 2 можно выразить в виде многочлена от а,, . . . , а над Р , содер­ жащего <х„ . . . , а с показателями, не превосходящими л — 1. Таким | it п п образом совокупность произведений a J a J . . . а\У с показателями kj, lj, ... , Sj, не превосходящими л — 1 , образуют конечный базис про­ странства 2 , в силу чего 2 конечномерно. Теперь мы можем доказать нашу теорему. В теории вектор­ ных пространств доказывается, что конечномерное пространство нельзя изоморфно отобразить на собственное подпространство так, чтобы элементы Р оставались неподвижными. Следовательно, Д не может быть собственным подполем 2 и потому Д = 2 . Введём весьма важное понятие продолжения изоморфизма. Оно понадобится при изучении дальнейших свойств группы уравнения. Пусть К и К—два изоморфных кольца (числовых или нечи­ словых, безразлично), Д — расширение кольца К, а Д — расширение кольца К. Пусть Д и Д также изоморфны. Мы назовём изоморфизм k l