* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
О РЕШЕНИИ
\ЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
В РАДИКАЛАХ
285
в силу чего а> —]— 0 — - со' —]— в'. Точно так же убеждаемся, что аЛ-»-<о'6'. > Все эти рассуждения показывают, что соответствие (4) есть взаимно однозначное соответствие между множествами Н и G. Остаётся проверить, выполняются ли для соответствия (4) условия изоморфизма. Пусть \/| г . . . i l
2 n
\У| у . . . j
2 it
n
Тогда для произвольного элемента o>=f(a «(Sr) = («S)r=/(a
/ l f
...
, а ) из 2 получаем:
п
...
f
a )T=f(a ,
in h
. . . , а ) = ш'.
Уя
Мы видим отсюда, что элемент о/ получился из элемента < с по о мощью подстановки 1 2 . . . п\ . . . = А Следовательно, ST-^st. Итак, Н v G оказались изоморфными. Благодаря этому обстоя тельству мы можем не отличать G от И и в случае надобности понимать под группой уравнения (1) группу автоморфизмов его нормального поля 2 . Так как группа автоморфизмов И зависит лишь от поля 2, то мы будем иногда G (и Н) называть группой нормаль ного поля 2 . Прежде чем переходить к дальнейшему изучению группы урав нения, отметим некоторые свойства нормального поля 2 и алге браических расширений. Т е о р е м а 27. Всякий элемент < нормального поля 2 является о корнем некоторого многочлена, неприводимого над Р . Д о к а з а т е'л ь с т в о. Поскольку ш — элемент поля 2, он выра жается в виде многочлена от корней уравнения (1) над Р :
w
=/(«i»
.
О-
Подвергая f(a . . . , а ) всевозможным подстановкам симметрической группы S , мы получим п\ элементов поля 2:
u л n
е , = ш , е ,..., б .
2 п!
Составим вспомогательное уравнение
g(x)=(x—e,)(*—е„)
...
е )=о.
в !
На основании основной теоремы о симметрических многочленах нетрудно установить, что g(x) есть многочлен над Р . Вместе с тем g(x) имеет в качестве одного из корней <о. Очевидно, что ш также будет корнем одного из неприводимых (в Р) множителей много члена g(x), и теорема доказана. Т е о р е м а 28. Если корень ш многочлена р (JC), неприводимого в Р, лежит в нормальном поле 2, то и все корни р (х) лежат в 2 .
