* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

284 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть Т—ещё один автоморфизм поля 2 и пусть Т соответ­ ствует та же подстановка s что и автоморфизму S: T—>s. Любой элемент ш из 2 есть многочлен ог а ... , а над Р: t и п ш = / ( в 1 - . О- Поэтому o>S=f(a S, l . . . , а 5 ) = / ( а , . . . , a )=f(a T, я / 1 in t . . . , а Г) = шГ. п Так как ш — произвольно, то отсюда вытекает, что 5 = 7*. Легко, далее, убедиться, что для всякой подстановки 5 из G можно указать автоморфизм Анормального поля 2 такой, что В самом деле, если \к к •- • U 9 то подстановка s переведёт произвольный элемент ш = / ( < * , , . . . , а ) из 2 в элемент ш ' = / ( а , . . . , а. ). При другом выражении <» = g (a ... , а ) элемента to через корни уравнения (1) подстановка 5 переведёт to в тот же самый элемент а/. Это следует из того, что рациональное соотношение п / 1 t9 п /(«1» - , = . «„) между корнями уравнения (1) не должно нарушаться вследствие под­ становки s группы О. Таким образом, подстановка 5 вызывает соот­ ветствие to—»-to', (5) не зависящее от способа выражения элемента to через корни урав­ нения (1), причём, очевидно, что если а — элемент поля Я, то а—>а. Возьмём теперь другой элемент 6 из 2 . Если 6->to', то обратная подстановка s~ будет переводить один и тот же элемент ш' в раз­ личные элементы to и 6, что невозможно, так как мы только что убедились, что всякая подстановка группы G, в частности s~\ должна, независимо от способа выражения элемента to' через корни уравнения (1), переводить ш' в один и тот же элемент. Стало быть, соответствие (5) является не только однозначным, но и взаимно однозначным. Наконец, для произвольного ш' можно указать такое ш, что < о — И м е н н о , таким элементом to будет элемент, получающийся из to' в результате применения обратной подстановки s" . Итак, мы убедились, что соответствие (5) есть не что иное, как взаимно однозначное отображение поля 2 на самого себя, оставляющее элементы поля Р неподвижными. Покажем, что соответствие (5) и будет искомым автоморфизмом S. Действительно, если w-*to' и то подстановка s переведёт сумму t o - j - 6 = / ( a „ . . . , + ... , а) в x 1 п