* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ 231 мы можем любой классе—, т. е. любой элемент поля А, рассмотриg вать как отношение многочленов / и g ф 0 из кольца Р\х ... x] г. е. Д есть поле алгебраических дробей для кольца P[x ..., х ]. Теорема доказана. Поскольку мы убедились в существовании поля алгебраических дробей для кольца P[x х ], мы будем в дальнейшем обо­ значать это поле через P(x ..., х ) (неизвестные в круглых, а не в квадратных скобках). Перейдём теперь к вопросу о функциональной точке зрения на алгебраическую дробь. Обратимся к случаю алгебраической дроби от одного неизве­ стного. Пусть г(х) = Щ\ (16) и t n t lt п h п lt п — некоторая алгебраическая дробь из Р(х). Введём понятие зна­ чения дроби г(х). Предварительно отметим, что числитель и знаменатель дроби (16) можно всегда предполагать взаимно простыми. Действительно, если бы многочлены f(x) и g(x) имели наибольший общий делитель D(x) со степенью выше нулевой, то f(x)=f (x)D(x), l x g(x) = g (x)D(x) t B fi( ) и gi(x) были бы взаимно простыми, и на основании условия равенства алгебраических дробей мы могли бы написать: g(x) &(хУ Итак, мы будем многочлены f(x) и g(x) предполагать взаимно простыми. Возьмём теперь из поля Р некоторый элемент с. Если g(c)^O то под значением г(х) при х = с мы будем подразумевать t отношение ~ \ значений многочленов f(x) и ^(лг) при х=с и будем это отношение обозначать через г (г). Очевидно, что значе­ ние г (с) дроби г{х) есть некоторый элемент поля Р. Из этого определения следует, что если две алгебраические дроби равны: r (х) = r (JC), то их значения совпадают при любом значении неизвестного х, не обращающего в нуль знаменатели дробей г (х) и г (х). В самом деле, если t 2 х 2 r {x) * -gA*Y r « ( J f ) -&(x) (х). и г (х) = г (х), то в силу условия равенства алгебраических дробей х 2 Л (х) gi (х) =/ в (х) g l