* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

252 КОЛЫЮ МНОГОЧЛЕПОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ l ФУНКЦИЙ Пусть с—элемент из Р, для которого g (с) ^ 0 и ft (с) Ф 0- Пола­ гая х = с, имеем: ft (c)=f (c)g i 1 (с), откуда, пользуясь условием равенства дробей в поле Р, получаем: gi(c) ft (с)" 1 Покажем, что в случае б е с к о н е ч н о г о поля Р и обратное: если значения алгебраических дробей г совпадают при любом значении неизвестного х, ющем в нуль знаменатели дробей, то дроби г (х) и Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х будет верно (х) и г<> (х) не обраща­ г (х) равны. % /i(g)_/ (g) g gifr) £s( )' t c где с — произвольный элемент из Р , не обращающий в нуль g (х) и gz(x). Тогда Mc)gt(c)=Mc) (c). (17) gl Из равенства (17) видно, что значения произведений f\(x)g (x) и fz( )gi( ) совпадают при бесконечном множестве значений неиз­ вестного х, так как поле Р бесконечно, а многочлены (х) ^ 0 и g (x)^0 над полем Р имеют ограниченное число корней. Следо­ вательно, многочлены f (х) g% (х) и f%(x)g (x) должны быть равны 2 x x g l 2 l 1 fi ( ) х ft ( ) = А ( ) х х gi (*). Отсюда на основании равенства алгебраических дробей получается, что gl (х) g s (xj» и наше предложение доказано. Будем в произвольной алгебраической дроби г(х) = ^^из 5 Р(х) неизвестное х заменять тем или иным элементом с из п о л я / , не обращающим в нуль знаменатель g(x). Тогда мы будем получать вполне определённые элементы г (с) из А Таким образом, каждой алгебраической дроби г(х) из Р(х) будет ставиться в соответ­ ствие функция от одного аргумента Е, определённая для всех значе­ ний х, кроме значений, обращающих в нуль знаменатель g(x): / • ( * ) - * г(Q. (18) Через г(Е) мы здесь обозначили функцию, соответствующую алгеб­ раической дроби г(х). Мы будем г(£) называть рациональной функ­ цией над полем Р.