* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

250 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Получился в обоих случаях один и тот же результат. Следова­ тельно, А gi Г + \ft ^ А^ gz = ( Л I \gl Так же проверяются и остальные условия. Мы утверждаем, что построенное поле Д и будет искомым по­ лем алгебраических дробей. Это утверждение станет очевидным, если мы покажем, что Д содержит подкольцо, изоморфное кольцу Р [лг,, . . . , х ]. п J_A\ L A ^ g j ^ gz' Рассмотрим в поле Д подмножество классов вида у , из P[x х] п где 1— единица поля Р. Поставим в соответствие каждому многочлену / it класс у с тем же самым / . Мы получим тогда взаимно однозначное соответствие между кольцом Р[х сов вида у . 19 х] п и множеством, состоящим из клас­ и / из Р[х х] п В самом деле, разным многочленам / , 2 и должны соответствовать разные классы у - ф у - . Если бы классы у и - у совпадали, то на основании условия равенства двух классов мы имели бы, что /,-1=/ -1 или / , = / , что невозможно. Взаимно однозначное соответствие (15) будет к тому же изо­ морфизмом. Действительно, если а 3 TO 7i-h/a-> f f У 1 У з i . /i/s — л/а M — 1 ~T l ' A — A i ~~ b i ~ 1 ' 1• Итак, множество классов вида у образует изоморфное кольцу P[x lt подкольцо поля Д, х ]. п В силу этого мы можем класс у не отличать от соответствующего многочлена / . - является элементом, обратным ё тсльно класса ^- , то в силу равенства / . = '1 " g 1 Далее, так как класс относи- f £