* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

226 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ никакого алгебраического уравнения произвольной степени с коэф­ фициентами из поля Р . В первом случае а называется числом, алгебраическим относи¬ тельно ноля Р, а во втором, в соответствии с общим определением трансцендентного элемента (см. § 1), — числом, трансцендентным относительно Р . Отметим, что всякое а из поля Р будет алгебраи­ ческим относительно Р , так как оно является корнем уравнения х—а = 0 с коэффициентами из поля Р . Если, в частности, Р есть поле рациональных чисел, то слова «относительно ноля Р» обычно опускают и говорят просто об алге­ браическом или трансцендентном числе. Например, | / 2 есть алге­ браическое число (т. е. алгебраическое число относительно поля рациональных чисел), так как \Г2 является корнем уравнения вто­ рой степени х* — 2 = 0 с рациональными (а именно, целыми) коэф­ фициентами. Обозначим, далее, через Р[а] множество чисел вида f(<*) = Co-\-c a-\-c a*-\l i . . . +c a , fc 0 и ft где k — произвольное целое неотрицательное число, с , с , , . . . , с — любые числа из поля Р . Легко проверить, что это множество Р [ а | замкнуто относительно первых трех арифметических действий и потому образует числовое кольцо. Рассмотрим, кроме того, более обширное множество всевозмож­ ных отношений /(<*) Со + g| о + • - - + Cfr gfe {„tn\ -А П\ Ш= do+^ + . . . - + ^ <*(«>*°> элементов кольца P[a], Это множество, как легко видеть, является числовым полем. Мы его будем обозначать через P ( a ) ( a в круглых скобках!) и называть полем или простым расширением поля Р, получающимся путём присоединения к Р числа ос. При этом пере­ ход от поля Р к полю Р (а) называется присоединением элемента а к Р . Вообще, если некоторое числовое поле Д содержится в некотором другом числовом поле 2 , то А, как известно, называется подполем поля 2, а 2—расширением поля А. Таким образом, простое расширение Р(ос) поля Р есть частный случай понятия расши­ рения поля. Отметим ещё, что Р ( а ) называется простым алгебраическим рас­ ширением поля Р , если а является алгебраическим относительно Р ; если же а трансцеьдентно относительно Р , то Р (а) называется простым трансцендентным расширением Р . П р и м е р 1. Возьмём в качестве поля Р поле рациональных чисел и 8 качестве a — число уЬ. Выясним, что собой представляют Я | / б | и Р(,/5).