* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЫЮ МНОГОЧЛЕНОВ от
ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО
227
Согласно общему определению Р[/5] состоящее из элементов вида «о + с , ( / 5 ) + с ( / 5 ) * +
в
есть числовое кольцо,
<*(/5>,
е k
(1)
где k — произвольное целое неотрицательное число, а с , . c — произвольные рациональные числа. Выражение (1) можно, однако, упростить. А именно, принимая во внимание, что (/5)
2
= 5,
(/5)
3
=
5/5
и т. д., можно выражение (1) преобразовать в двучленное вы ражение а-\~Ь \/~5, где а, Ь — рациональные числа. Итак, мы видим, что Р [ / 5 ] состоит из всевозможных чисел ви да а -\- Ъ | / 5. Теперь посмотрим, из чисел какого вида состоит P(\f5). По определению Р(\ГЪ) есть не что иное, как совокупность эле ментов вида c + d\T5
9 1 )
где а, Ь, с, d — рациональные числа, c-\-d
\ГЬ Ф 0. Для упрощения Тогда
умножим числитель и знаменатель дроби (2) на с — d | / 5 . получим:
c + d\\f
5
~ ,, "
¥
где
г ,
ас — ас — 5bd " " ~5d*
be — ad
—
9
с- — 3d
Мы видим отсюда, что поле Р(\/ совпадает с полем Р Р[/5] =
5) состоит из элементов того же
двучленного вида, что и кольцо Р [ |/5 ]. Это значит, что кольцо Р [ j / 5 ]
Р(/5).
Только что подмеченное совпадение Р[ \ГЪ\ и Р(\Гъ) не является случайностью; оно характерно для всякого алгебраиче ского числа. Т е о р е м а 16. Если а — число, алгебраическое относительно поля Р, то уже Р[а] является числовым полем: Р [ а ] = Р ( а ) .
15*