* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЫЮ МНОГОЧЛЕНОВ от ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 227 Согласно общему определению Р[/5] состоящее из элементов вида «о + с , ( / 5 ) + с ( / 5 ) * + в есть числовое кольцо, <*(/5>, е k (1) где k — произвольное целое неотрицательное число, а с , . c — произвольные рациональные числа. Выражение (1) можно, однако, упростить. А именно, принимая во внимание, что (/5) 2 = 5, (/5) 3 = 5/5 и т. д., можно выражение (1) преобразовать в двучленное вы­ ражение а-\~Ь \/~5, где а, Ь — рациональные числа. Итак, мы видим, что Р [ / 5 ] состоит из всевозможных чисел ви­ да а -\- Ъ | / 5. Теперь посмотрим, из чисел какого вида состоит P(\f5). По определению Р(\ГЪ) есть не что иное, как совокупность эле­ ментов вида c + d\T5 9 1 ) где а, Ь, с, d — рациональные числа, c-\-d \ГЬ Ф 0. Для упрощения Тогда умножим числитель и знаменатель дроби (2) на с — d | / 5 . получим: c + d\\f 5 ~ ,, " ¥ где г , ас — ас — 5bd " " ~5d* be — ad — 9 с- — 3d Мы видим отсюда, что поле Р(\/ совпадает с полем Р Р[/5] = 5) состоит из элементов того же двучленного вида, что и кольцо Р [ |/5 ]. Это значит, что кольцо Р [ j / 5 ] Р(/5). Только что подмеченное совпадение Р[ \ГЪ\ и Р(\Гъ) не является случайностью; оно характерно для всякого алгебраиче­ ского числа. Т е о р е м а 16. Если а — число, алгебраическое относительно поля Р, то уже Р[а] является числовым полем: Р [ а ] = Р ( а ) . 15*