* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

200 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 3°. Всякий многочлен /(лг) степени п с комплексными коэф­ фициентами имеет п комплексных корней, считая при этом каж­ дый корень столько раз, какова его кратность. Действительно, это следствие с очевидностью вытекает из разложения (25). Для получения дальнейших следствий воспользуемся следую­ щим важным свойством многочлена с действительными коэффи­ циентами: если х — корень многочлена /(лг) с действительными коэффициентами, то сопряжённое комплексное число лг будет также корнем многочлена f(x). Иными словами, мнимые корни многочлена /(лг) с действительными коэффициентами должны быть попарно сопряжены. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х = а-\-Щ— мнимый корень мно­ гочлена 0 0 0 /(х) = а х* + 0 а х -*+...+а ч 1 я с действительными коэффициентами. Обозначим через х комплекс­ ное число, сопряжённое с х , и разделим многочлен f(x) на g(x) = = (х — х )(х — х ) = х*— 2ах (<* -\- Р ) . Так как степень дели­ теля g(x) равна двум, то остаток будет иметь вид Px~\~Q при­ чём его коэффициенты действительны, так как коэффициенты де­ лимого f(x) и делителя g(x) действительны. Таким образом, можно написать, что 0 0 а а 0 0 t f(x) = (лг — х ) (х — х ) q (х) - f (Рх + Q). 0 0 Qr Полагая в последнем равенстве x — x или получаем: / > ( e + p o + Q = 0, («P+Q) + $/>=0, откуда a P - f Q = 0, 0 pP=0. Р = 0 и Но Р ф 0, так как лг — мнимое число. Следовательно, потому Q = 0. Отсюда f(x) = (лг — x ) (х — л; ) q (х), G 0 0 и теперь становится очевидным, что лг есть также корень много­ члена /(ЛГ). Теперь укажем дальнейшие следствия из основной тео­ ремы алгебры. Они будут относиться уже к многочленам с действи­ тельными коэффициентами. 4°. В поле действительных чисел неприводимыми могут быть только многочлены не выше второй степени. В самом деле, пусть, вопреки утверждению, /(лг) есть много­ член с действительными коэффициентами выше второй степени и неприводимый в поле действительных чисел. Согласно основной теореме алгебры /(х) долисец иметь по меньшей мере один коми-