* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 201 ле-ксный корень x . Этот корень не может быть действительным: если бы х было действительным, то многочлен f(x) был бы при­ водимым в поле действительных чисел: G 0 f(x) = (x — Хъ)д(х), где q (х)— многочлен с действительными коэффициентами. Следо­ вательно, х$ есть мнимый корень. Отсюда в силу доказанного выше получаем при x = a-\-$i (Р ф 0), что 0 / (х) = [* — 2ах + (а + р )] q (х). а 2 2 Так как коэффициенты квадратного трехчлена х — 2ах -|- (а -|- р ) действительны, то q (х) должен быть многочленом также с дей­ ствительными коэффициентами. Вместе с тем степень q (х) не ниже единицы, так как f(x) есть многочлен выше второй степени. Полу­ чилось противоречие с нашим предположением о неприводимости f(x) в поле действительных чисел. 5°. Всякий многочлен степени с действительными коэф­ фициентами разлагается в поле действительных чисел на мно­ жители не выше второй степени. 6°. Число действительных корней многочлена f{x) степени п^1 с действительными коэффициентами имеет ту же чётность, что и степень п многочлена. Справедливость этого свойства видна из следующих рассуждений. Как мы уже знаем, многочлен f(x) должен иметь п комплексных корней (см. 3 ). Среди этих корней могут быть и действительные корни. Пусть число действительных корней многочлена f(x) равно 5 ( 0 ^ 5 ^ / г ) . Тогда п — 5 будет числом мнимых корней многочлена. Из попарной сопряжённости мнимых корней следует, что их число п — 5 должно быть чётным, откуда п и s имеют одинаковую чётность. Из свойства 6°, в частности, вытекает, что если степень много­ члена f(x) с действительными коэффициентами нечётна, то мно­ гочлен имеет нечётное число действительных корней и потому имеет по меньшей мере один действительный корень. Мысль о том, что многочлен n-Pi степени имеет п комплексных корней, возникла ещё в XVII в. и была высказана в 1629 г. фран­ цузским математиком Жираром. В 1746 г. Даламбер сделал попытку доказать основную теорему алгебры. Первое удовлетворительное доказательство было дано в 1799 г. Гауссом. В настоящее время известно много различных доказательств этой теоремы *). 2 2 2 е *) В учебниках Куроша [ ] и Окунева [ ] по курсу высшей алгебры при­ водится доказательство основной теоремы алгебры, связанное с понятием поля разложепия. В кпнге Куэьмина-Фаддеева [ ] можно найти доказатель­ ство, связанное с нопедепием аргумента многочлена f(z) комплексного пере­ менного z при обходе точки z замкнутого коптура (см. стр. 41—51). Изве­ стны также и топологические доказательства основной теоремы алгебры. Одно из таких доказательств излагается на стр. 356 — 358 книги Р. Куранта и Г. Робннса *Что такое математика» (Гостехиздат, 1947J, А 2 4