* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 199 (24) и теорема доказана. Теперь мы можем сформулировать основную теорему алгебры и приступить к её доказательству. О с н о в н а я т е о р е м а а л г е б р ы . Всякий многочлен f(х) степени л ^ 1 с комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел по меньшей мере один корень. Д о к а з а т е л ь с т в о . Как мы только что установили, сущест­ вует по меньшей мере одно такое комплексное число х , для ко­ торого \f(x )\ = l, где / — нижняя грань всех значений модуля многочлена !/(-*;) |. Покажем теперь, что 1=0. Допустив против­ ное, предположим, что 1ф0. Тогда /(х )фО, и мы можем вос­ пользоваться леммой Даламбера. Согласно этой лемме можно подо­ брать такое комплексное число х' =x -\-h что \f(x')\<^\f(x )\ или \f(x')\<^l. Но последнее неравенство противоречит тому, что / есть нижняя грань всех значений \f(x) |. Следовательно, наше допущение неверно и, таким образом, / = | / ( j t ) | должно равняться нулю. Отсюда f(x ) = O т. е. х оказалось корнем многочлена f(x). Из основной теоремы алгебры вытекает целый ряд следствий. Отметим наиболее существенные. 1°. В поле комплексных чисел неприводимыми являются лишь многочлены первой степени. В самом деле, если р (х) — многочлен, неприводимый в поле комплексных чисел, то он согласно основной теореме алгебры дол­ жен иметь по меньшей мере один комплексный корень х . Отсюда р(х) = (х— x )q(x). Но в силу неприводимости р(х) многочлен q (х) не может иметь степень выше нулевой. Следовательно, q (х) = с, где с — некоторое комплексное число, отличное от нуля. Таким образом, р(х) = с(х—x ) т. е. р(х) оказался многочленом первой степени, что и требовалось показать. 2°. Всякий многочлен f(х) степени п^1 с комплексными коэффициентами разлагается в поле комплексных чисел целиком на линейные множители. Действительно, многочлен f(x) должен следующим образом раз­ лагаться на неприводимые множители в поле комплексных чисел 0 0 0 0 t 0 0 0 t 0 0 0 0 t f(x) = a (x — x ) (x 0 l ftl — xy 1 (X — X ?r, r (25) так как в этом поле неприводимыми являются лишь многочлены первой степени. При этом, очевидно, а есть старший коэффициент многочлена f(x). 0