* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

164 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ а остаток, как и следовало ожидать, равен частное делим в свою очередь на х—1; 1 1 1 —1 0 0 0 нулю. Получившееся 1 1 —1 0 И ы видим, что и здесь остаток равен нулю, а частное равно Если теперь разделить д (х) на х—1, то получится остаток, уже отличный от нуля. Таким образом, данный многочлен f(x) делится на (х—I) , но не делится на (х—I) , в силу чего 1 является двукратным корнем f(x). Возникает естественный вопрос, сколько корней может иметь многочлен f{x) п-й степени над кольцом R. Обратимся к конкрет­ ным примерам. Они помогут нам притти к правильному ответу. П р и м е р 6. Многочлен JC — 2 над полем рациональных чисел не имеет корней. Однако если лг — 2 рассматривать как многочлен над полем действительных чисел, то х?— 2 будет иметь один корень \V2. Мы видим, что как в случае поля рациональных, так и в слу­ чае поля действительных чисел количество корней многочлена х — 2 меньше трёх, т. е. меньше степени многочлена. П р и м е р 7. Многочлен х*—1 над кольцом целых чисел имеет два корня: 1 и — 1. Здесь получается, что число корней многочлена равно степени многочлена. Эти два примера заставляют нас склоняться к мысли, что число корней многочлена /г-й степени над R не должно превосходить сте­ пени многочлена. Однако следующий пример покажет, что дело обстоит сложнее. П р и м е р 8. Рассмотрим в качестве кольца R множество квад­ ратных матриц вида г 2 3 3 8 ъ где а, Ъ — действительные числа. Предоставляем читателю проверить самому, что это множество в самом деле образует коммутативное кольцб относительно операций сложения иумножения матриц. Еди­ ницей здесь, очевидно, будет единичная матрица